Power, Simplicity and Beauty
Number theory
薪尽火传 “算术研究”中文版出版 Gauss 的经典传世名作, “算术研究(Disquisitiones Aritmeticae)”, 的中文版本, 已由哈尔滨工业大学出版社出版, 不过书的名字不是”算术研究”, 而是”算术探索”. Gauss 一生贡献众多, 以数论(Number Theory)中的这本”算术研究”, 以及微分几何(Differential Geometry)中的 Egregium theorem, 影响为最大. 这本书是 Gauss 于1801 年夏天出版, 全书用拉丁文(Latin)写成, 并且是最晚的使用学院拉丁文(scholarly Latin)写就的数学著作之一. 全书分为七个部分 \(335\) 篇, …
The Chinese edition of Gauss’s book “Disquisitiones Aritmeticae” has been published Read More\(m\in\Bbb N^+,a\in\Bbb Z,\) 并且 \(( a, m ) = 1\), 则一次同余方程 \[ax\equiv b\pmod m\] 有唯一解 \(\dfrac ba\). \(\dfrac ba\) 只是一个形式分数, 并不是我们需要的真正答数. 那么, 如何通过这个分数找出真正的解呢? 我没有看到什么书来系统论述这个问题. 单墫在他的大部头著作”数学竞赛研究教程”介绍中国剩余定理的时候, 在一个例题的解答里, 简略的提到了下面的变换 I 与 III. 人民教育出版社的新版普通高中课程标准实验教科书中, …
Congruence equation and transformations Read More开篇 Zsigmondy’s theorem states that if \(a>b>0\) and \(n>1\) are positive integers, then \(a^n+b^n\) has at least one prime factor that does not divide \(a^k+b^k\) for all positive integers \(k<n\), with …
Zsigmondy’s theorem Read MoreIn 1949, Leo Moser gave a proof of Bertrand’s postulate in the paper “A theorem of the distribution of primes”(American Mathematical Monthly,624-624,1949,vol56). Maybe this proof is the simplest one among all proofs of Bertrand’s postulate. …
Leo Moser’s proof of Bertrand’s postulate Read MoreFermat polygonal number theorem is a theorem in additive number theory, it is states that every positive integer is a sum of at most \(n n\)-gonal numbers. Let \(n\geq 3\), the polygonal numbers …
Fermat polygonal number theorem Read More第一个证明是哥德巴赫(Goldbach)给出的，这个证明涉及的所谓 Fermat 数总会使得人们联想起费尔马（Fermat）和高斯（Gauss）！ 我们的目的是指出任意两个 Fermat 数 \(F_n=2^{2^n}+1, n=0,1,2,\dotsc\) 互质. 下述关系式足以 \begin{equation}\prod_{i=0}^{n}F_i=F_{n+1}-2.\end{equation} 下面是Filip Saidak \(2005\) 年的证明, 发表在 “美国数学月刊” (Amer.Math.Monthly) \(2006\)年第\(113\)卷第\(10\)期\(937-938\): 任取不是 \(1\) 的自然数 \(m\), 由于 \(m\) 与 \(m+1\) 互质, 即 \((m,m+1)=1\), 于是 …
Proofs of the infinity of primes Read More