这就是常说的大考了, 占所有考试一半的比重.
第一天
2013年3月24日上午 8:00-12:30
1. 给定整数 \(n\geqslant2\), 对任意互素的正整数 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\), 记 \(A=a_1+a_2+\dotsb+a_n\), 对 \(i=1,2,\dotsc,n\), 设 \(A\) 与 \(a_i\) 的最大公约数为 \(d_i\); \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 中删去 \(a_i\) 后余下的 \(n-1\) 个数的最大公约数为 \(D_i\). 求 \(\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{A-a_i}{d_iD_i}\) 的最小值.
2. 如图, \(\triangle ABC\) 内接于圆 \(O\), \(P\) 为 \(\widehat{BAC}\) 的中点, \(Q\) 为 \(P\) 的对径点, \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心, \(PI\) 交边 \( BC\) 于点 \(D\), \(\triangle AID\) 的外接圆交 \(PA\) 延长线于点 \(F\), 点 \(E\) 在线段 \(PD\) 上, 满足 \(DE=DQ\). 记 \(\triangle ABC\) 的外接圆, 内切圆的半径分别为 \(R,r\).
证明: 若 \(\angle AEF=\angle APE\), 则 \(\sin^2\angle BAC=\dfrac{2r}R\).
China team for IMO 2013 selection test 3 problem 2
3. 有 \(101\) 个人, 分别持有 \(1,2,\dotsc,101\) 张卡片, 按任意顺序围坐在圆桌旁. 一次传递是指某人将自己手中的一张卡片传给与其相邻的两个人之一. 求最小的正整数 \(k\), 使得不论座次如何, 总能通过不超过 \(k\) 次传递, 使得每个人持有的卡片数相同.
第二天
2013年3月25日上午 8:00-12:30
4. 设 \(p\) 是一个素数, \(a,k\) 是正整数, 满足 \(p^a<k<2p^a\). 证明: 存在正整数 \(n\), 使得 \(n<p^{2a}\), 且 \(C_n^k\equiv n\equiv k\pmod {p^a}\).
5. 设整数 \(n\geqslant2\), \(a_1,a_2,\dotsc,a_n,b_1,b_2,\dotsc,b_n\) 是非负实数. 证明:
\[\left(\dfrac n{n-1}\right)^{n-1}\left(\dfrac 1n\sum_{i=1}^na_i^2\right)+\left(\dfrac 1n\sum_{i=1}^nb_i\right)^2\geqslant\prod_{i=1}^n\left(a_i^2+b_i^2\right)^\frac1n.\]
6. 在直角坐标平面上, 设点集 \(P,Q\) 是顶点均为整点的凸多边形区域(包括内部和边界), \(T=P\cap Q\). 证明: 若 \(T\) 非空且不含整点, 则点集 \(T\) 是非退化的凸四边形区域.
