mathematical olympiad

这就是常说的大考了, 占所有考试一半的比重. 第一天 2013年3月24日上午 8:00-12:30 1. 给定整数 \(n\geqslant2\), 对任意互素的正整数 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\), 记 \(A=a_1+a_2+\dotsb+a_n\), 对 \(i=1,2,\dotsc,n\), 设 \(A\) 与 \(a_i\) 的最大公约数为 \(d_i\); \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 中删去 \(a_i\) 后余下的 \(n-1\) 个数的最大公约数为 \(D_i\). 求 \(\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{A-a_i}{d_iD_i}\) 的最小值. 2. …

China IMO 2013 team selection test 3 Read More

第一天 2013年3月18日上午 8:00-12:30 1. 对整数 \(k\geqslant2\), 设 \(T_k=\{(x,y)|x,y=0,1,\dotsc,k-1\}\) 为直角坐标平面内的 \(k^2\)个点组成的集合, 将 \(T_k\) 中的点对之间的所有不同距离从大到小记为 \[d_1(k)>d_2(k)>\dotsb.\] 令 \(S_i(k)\) 为 \(T_k\) 中距离等于 \(d_i(k)\) 的无序点对的个数. 证明: 若正整数 \(m>n>i\), 则 \(S_i(m)=S_i(n)\). 2.  证明: 存在正常数 \(K\) 及严格递增的无穷正整数数列 \(\{a_n\}\), 使得对任意正整数 \(n\), 均有 \(a_n<K\cdot (1.01)^n\), 且数列 \(\{a_n\}\) 中的任意有限多个不同项之和不是完全平方数. 3. …

China IMO 2013 team selection test 2 Read More

2013年3月12日第54届 IMO中国国家集训队开幕式在江苏省无锡市的江阴南菁高级中学举行. 本次集训为期二周, 通过集中培训和二次测试及一次选拔考试共 6 场考试, 从64名本届国家集训队队员中选拔出 6 位队员, 组成今年国家队. 第一天 2013年3月13日上午 8:00-12:30 1. 如图, 设四边形 \(ABCD\) 内接于圆 \(\omega\), \(AC,BD\) 交于点 \(F\), 延长线段 \(BA,CD\) 交于点 \(E\), 设 \(F\) 在 \(AB,CD\) 上的射影分别为点 \(G,H\), 点 \(M,N\) 分别为线段 \(BC,EF\) 的中点. 设 \(\triangle MNG\) 的外接圆与线段 \(BF\) 有唯一交点 \(P\), \(\triangle …

China IMO 2013 team selection test 1 Read More