定理 形如 $\dfrac pq$($p, q$ 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集
中稠密.
令 $0 < a < b$， $q$ 是一个素数.
那么，存在素数 $p$, 使得 $a < p/q\le b$ 当且仅当
$$\pi(bq) > \pi(aq)$$
这里 $\pi$ 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, 当 $q\to\infty$ 时
$$\frac{\pi(bq)}{\pi(aq)}\sim\frac{b\ln(aq)}{a\ln(bq)}
=\frac{b(\ln q+\ln a)}{a(\ln q+\ln b)}\sim\frac ba>1.$$
对足够大的 $q$, $\pi(bq)/\pi(aq) > 1$ 为我们的目标.
或者，大同小异换汤不换药
设 $p_n$ 是第个素数。 主要的依据是 $p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n$, $n\to\infty$
事实上，根据素数定理，当 $n\to\infty$ 时
$$\pi(p_n)=n\sim\frac{p_n}{\ln p_n}, $$
$$\ln p_n\sim\ln\frac{p_n}{\ln p_n}\sim\ln n. $$
于是， $p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n$, $n\to\infty$
任意正实数$a$, 设 $n_k=[\dfrac{ak}{\ln k}]$， $m_k=[\dfrac{k}{\ln k}]$，
$$\lim_{k\to\infty}\frac{p_{n_k}}{p_{m_k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{n_k\ln n_k}{m_k\ln m_k}=a$$
形如 $\dfrac pq$($p, q$ 都是素数)的全体有理数构成的集合在正实数集中稠密.