定理 形如 \(\dfrac pq\)(\(p, q\) 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集中稠密.
令 \(0 \lt a \lt b\)， \(q\) 是一个素数.
那么，存在素数 \(p\), 使得 \(a \lt \frac pq\le b\) 当且仅当
\[\pi(bq) \gt \pi(aq),\]
这里 \(\pi\) 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, 当 \(q\to\infty\) 时
\[\frac{\pi(bq)}{\pi(aq)}\sim\frac{b\ln(aq)}{a\ln(bq)}
=\frac{b(\ln q+\ln a)}{a(\ln q+\ln b)}\sim\frac ba>1.\]
对足够大的 \(q\), \(\dfrac {\pi(bq)}{\pi(aq) }\gt 1\) 为我们的目标.
或者，大同小异换汤不换药
设 \(p_n\) 是第个素数. 主要的依据是 \(p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n\), 当 \(n\to\infty\)
事实上，根据素数定理，当 \(n\to\infty\) 时
\[\pi(p_n)=n\sim\frac{p_n}{\ln p_n}, \]
\[\ln p_n\sim\ln\frac{p_n}{\ln p_n}\sim\ln n. \]
于是, \(p_n\sim n\ln p_n\sim n\ln n\), 当 \(n\to\infty\)
任意正实数 \(a\), 设 \(n_k=[\dfrac{ak}{\ln k}]\), \(m_k=[\dfrac{k}{\ln k}]\)，
\[\lim_{k\to\infty}\frac{p_{n_k}}{p_{m_k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{n_k\ln n_k}{m_k\ln m_k}=a\]
形如 \(\dfrac pq\)(\(p, q\) 都是素数)的全体有理数构成的集合在正实数集中稠密.