Power, Simplicity and Beauty
mathematics
A subset \(A\) of \(\Bbb N\) is called a Sidon set(or Sidon sequence) if the only solutions of the equation \(x+y=z+w\) with \(x,y,z,w\in A\) are the trivial ones with \(x=z, y=w\) or \(x=w, y=z\). 换句话说, \(A=\{a_0,a_1,a_2,\dotsc\}\) 是一个 Sidon …
Sidon set Read More北京大学数学科学学院的周健老师正在把 EGA 与 SGA 翻译成中文. 早在 \(05\) 年(也可能是 \(06\) 年, 记不清了), 我就听说他在进行这个工作. 嗯, 这是艰难的事业. 依照丘成桐先生的建议, 为方便广大青少年学习者, 设立EGA, SGA. 这里包括了 EGA 与 SGA 的中文译本, Bourbaki 的数学原理 看样子也会加进来. EGA 的相关资料也会收集整理, R. Godement, J.-P. Serre, P. Deligne, M. Raynaud 的几篇文章已经呈现在读者面前, Ngô Bảo Châu(吴宝珠)证明基本引理(fundamental …
The Chinese edition of EGA, SGA and Bourbaki Read MoreShinichi Mochizuki has released his long-rumored proof of the abc conjecture, in a paper called Inter-universal Teichmuller theory IV: log-volume computations and set-theoretic foundations. If true, the proof would be …
Shinichi Mochizuki has released his proof of the abc conjecture Read MoreThurston passed away at 8pm on August 21 in Rochester, NY. William Paul Thurston (October 30, 1946 – August 21, 2012) was an American mathematician. 他是低维拓扑学(Low-dimensional topology)领域的先驱. 1982 年, 他因为在三维流形(3-manifolds)的工作, 而获得了菲尔兹奖(Fields Medal). Thurston …
Bill thurston Read MoreIf \(p,q\) are distinct odd primes, then \[\left( \frac pq\right) \left( \frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4},\] where \(\left( \frac{}{}\right)\) is the Legendre symbol. 这就是被 Gauss 称为”数论酵母” 的二次互反律. 自 Legendre 的那个没有完成的证明以来, 据 Reciprocity Laws: From …
The Quadratic Reciprocity Law Read More卢昌海谈 Riemann 猜想(Riemann hypothesis)的系列文章, 刚刚由清华大学出版社结集出版, 书名”黎曼猜想漫谈”. 从卢昌海动笔写第一篇谈Riemann 猜想的小文章, 到现在出版成书, 过去了八年仅仅差三个月. 在正式出版之前, 其内容已经在网络广为流传, 被很多人转载, 也被数学杂志连载刊登过, 影响巨大. 现在作为数学科普出版, 相信会促进科学的传播, 有助于大家了解这个数学中最重要的难题. 书名: 黎曼猜想漫谈 ISBN: 978-7-302-29324-8 出版社: 清华大学出版社 作者: 卢昌海 出版日期: 2012年08月 定价: 25 …
Changhai Lu’s book on the Riemann hypothesis has just been published Read More依赖相对迹公式方面的最新成果, 同余数(congruent number)最近有所进展. 其实, 我第一次从不定方程的书上了解到何为同余数的时候, 并不称为同余数, 而被冠名合同数. 同余数就是这样的 \(n\in\Bbb N^+\), 存在一个边长为有理数的直角三角形, 其面积为 \(n\). 边长为有理数的直角三角形被定义为有理三角形(有理三角形在不同的环境有不同的定义,比如有些作者不要求是直角三角形,也有人把直角三角形这个条件换成面积是有理数). 当有理三角形的边长都是整数的时候, 又称为勾股三角形. 哪些 \(n\) 是同余数? 有无简单的判定方法? 如果 \(n\) 是同余数, 请给出一个面积为 \(n\) 的有理三角形. 这些问题古老而困难, 目前仅有部分结果. 同余数和椭圆曲线, BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)联系甚大. 第一个结果是 André Weil 的 Number Theory: …
Congruent number and the BSD conjecture Read More如果把能表示成两个整数平方和的正整数, 按从小到大排成一列: \begin{equation}a_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=5,\dotsc.\end{equation} 那么这个数列, 不妨名为二平方和数列, 有什么性质? 先来考察二平方和之间的间隙, 也就是数列 \((1)\) 中, 相邻两项的差的问题. 这个差, 有界还是无界?事实上, 这个差可以任意的大, 即我们有下面的定理: 定理 \(1\) 记 \(d_n=a_{n+1}-a_n(n\geqslant1),\) 则 \begin{equation}\varlimsup_{n\rightarrow\infty}d_n= \infty.\end{equation} 换句话说, 我们可以找到任意多个连续的正整数, 它们都不在 \((1)\) 中. 证明 工具是中国剩余定理(Chinese remainder theorem). 取 …
The sequence of integer sums of two squares Read More