Power, Simplicity and Beauty
mathematics
7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了: Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), …
The first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions Read More前几天传出了一个消息，英国杜伦大学的Andrew Lobb和波士顿学院的Joshua Greene这两位数学家解决了一个有109 年历史的著名难题：任何简单闭合曲线，都包含四个可以连接形成正方形的点。 然则，这则新闻有点耸人听闻。事实上，这两个数学家解决的只是一个附加了条件的 弱化版本，并没有彻底搞定 109 年前的那个原始的猜想。 我们先来看看这个猜想是一个什么问题。这个猜想(Toeplitz square peg problem)是猜测任意连续的简单闭曲线上存着四个点构成为一个正方形。 Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明的结果是： 对于任意光滑的 Jordan 曲线和长方形 R, 可以找到曲线上的四个点使得构成的长方形相似于 R. 换言之，Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明了 对于光滑的 Jordan 曲线上存着四个点构成为一个正方形，并且不仅仅如此，他们对于光滑的 Jordan 曲线得到的结果比猜想还要好很多。 于是 …
Toeplitz square peg problem hasn’t been solved yet Read More既然奇次多项式会变号, 那么设 \(d\) 次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 则 \(d\) 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.
Hilbert’s 17th Problem 6: History Read More齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 …
Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial Read More1971 IMO P1 Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\): If …
Hilbert’s 17th Problem 4: The Anneli Lax-Peter Lax form Read MoreM.D. Choi, T.-Y. Lam 1977 年举了一个例子: The Choi-Lam polynomial \(Q(x, y, z, w) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和. 与 The Motzkin polynomial 一样, Choi-Lam 多项式也会在以后的证明成为关键角色. 后面的定理 5.2 说明 \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和实际就是下面定理的后半部分: 定理 3.1 Choi-Lam …
Hilbert’s 17th Problem 3: The Choi-Lam polynomial Read MoreT. Motzkin 1967 年举了一个例子: The Motzkin polynomial \(M(x, y, z)=x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2\) 不能写成多项式的平方和. 后面的定理 5.2 说明这事与定理 2.1 的第二部分是等价的. Theorem 2.1 Motzkin 多项式 \begin{equation} M(x, y) =x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1,\end{equation} 那么 \(M(x, y)\geqslant0\) 对任意实数 \(x\), \(y\) …
Hilbert’s 17th Problem 2: The Motzkin polynomial Read More设 \(p\) 是实系数的 \(n\) 元多项式, \(S\) 是 \(n\) 维 Euclidean space \(\Bbb R^n\) 的子集. 我们说 \(p\) 在 \(S\) 上是非负的(non-negative), 如果对于任意的 \(x\in S\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 我们下面关注的重点是 \(\Bbb R^n\) 上的非负(non-negative)多项式, 即对于任意的 \(x\in \Bbb R^n\), …
Hilbert’s 17th Problem 1: Non-negative polynomials on \(\Bbb R\) Read More