Power, Simplicity and Beauty
mathematics
本文作者 Zilin Jiang 对于一个三角形 \(T\), 一定可以找到一个椭圆 \( E\), 满足 \(E\subseteq T\subseteq 2E\). 对于一个平行四边形\(P\), 一定可以找到一个椭圆\( E^*\), 满足 \( E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*\). 由于在仿射变换下三角形, 平行四边形, 椭圆, 线段比例都保持, 所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了. 实际上, John定理断言, 每一个\( n\) 维凸体\( K\) 都有一个相应的椭球 \(E\) 满足, \(E\subseteq K\subseteq nE\). 对每一个中心对称凸体 \( C\), 都有一个相应的椭球 \( E^*\) 满足 \( E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*\). 为了证明John定理, 我们需要引入 …
John ellipsoid Read More集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. …
\(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals Read More单位圆上有理点的群结构 这是一个交换群, 其加法定义为 \[ (x, y)\oplus (z, w) = (xz − wy, xw + yz).\]
The group of rational points on the unit circle Read More圆周上的有理点有这么几个情况. 1. 没有有理点. \[x^2+y^2=3\] 是一个例子. 2. 恰有一个有理点. 比如 \((x+\sqrt2)^2+(y+\sqrt2)^2=4\) 只有原点. 3. 恰有两个有理点. 比如 \[x^2+(y+\sqrt2)^2=3\] 4. 有无穷个有理点 这是我们关心的情形. 很容易证明, 如果一个圆周上有 \(3\) 个有理点, 则有无穷多个有理点在此圆周上, 并且此圆的圆心是有理点, 半径的平方是有理数. 所以, 只要关注 \begin{equation}x^2+y^2=\frac pq\end{equation} (\(p, q\) 是互质的正整数) 即可. 中心是有理点 方程 \((1)\) 有有理解当且仅当 \(p, q\) …
Rational points on a circle Read MoreCounting from Infinity, A film about Yitang Zhang and the twin prime conjecture, 终于公映了 大家可以在下面的地点观看
Counting from Infinity-A film about Yitang Zhang and the twin prime conjecture Read MoreAlexander Grothendieck passed away on November 13, 2014, at the age of 86, in Saint-Girons. He died Thursday at a hospital in the southwestern town of Saint-Girons, hospital officials said, without …
Alexander Grothendieck 1928-2014 Read MoreYitang Zhang is giving the last invited talk at ICM 2014, “Small gaps between primes and primes in arithmetic progressions to large moduli”. 这是闭幕式前的最后一个 invited talk. 张大师习惯手写, 当场演算. Yitang Zhang …
Yitang Zhang is giving the last invited talk at ICM 2014: Small gaps between primes and primes in arithmetic progressions to large moduli Read More每 4 年举行一次世界数学家大会从 13 日到 21 日在首尔会展中心(COEX)举行. Martin Groetschel, Secretary-General of IMU, 在开幕式上的讲话说, IMU 有一些倡议. 这些打算之一是 adopt-a-graduate-student: IMU 会扶持发达国家的数学家, 这些数学家愿意给不那么发达国家的工作在相近领域的数学博士提供指导(mentorship). 今年的 Chern Medal 的得主 Phillip Griffiths 选择了 African Mathematics Millennium Science Initiative(AMMSI) 来接受 …
ICM 2014, IMU and Mathematics in Korea Read More