Zyymat: Mathematics

本文作者 xida Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？ 理由有两个。第一个原因是我曾经在给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发学生为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。 第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我们从中学就知道整数环和多项式环有唯一因子分解定理：每个整数可以唯一地分解为素数的乘积，每个（域上的）多项式可以唯一地分解为不可约多项式的乘积。在数学里面有很多这样的唯一分解定理，而我们现在想知道：有没有所谓的 “线性变换的唯一分解定理” 呢？可以猜测如果有这样的定理存在，那么大概可以表述为如下的样子： 线性变换的唯一分解定理（粗糙的版本）：设 \(V\) 是域 \(F\) 上的有限维向量空间，\(A\) 是 \(V\) 上的线性变换，则 \(A\) 可以唯一地分解为若干个 “简单的” 线性变换的组合，而且这些 “简单的” 线性变换本身不能再分解。 这个表述很不清楚，整数和多项式的分解就是表示为因子的乘积，那么什么是线性变换的分解呢？什么又是不可分解的线性变换呢？正确的概念是直和： 设 …