2013 China South East Mathematical Olympiad
第十届东南数学奥林匹克 第一天 (2013 年 7 月 27 日 上午 8:00-12:00) 江西 鹰潭 1. 实数 \(a,b\) 使得方程 \(x^3-ax^2+bx-a=0\) 有三个正实根. 求 \(\dfrac{2a^3-3ab+3a}{b+1}\) 的最小值. 2. …
2013 China South East Mathematical Olympiad Read MoreComplex analysis 6: Harnack’s inequality
Harnack’s inequality 是关于调和函数的一个不等式, 被 A. Harnack 在 1887 年引进. 随后又被其他人重新发现, 比如 J. Serrin 和 J. Moser. 有不少重要的数学家对 Harnack’s inequality 做出各种推广. 通过Nash-Moser迭代, 人们发现在较为一般的散度型椭圆方程和抛物方程正解都具有这种性质. 从此, Harnack 不等式在偏微分方程解性质研究中发挥了巨大作用. 上世纪八十年代, P.Li 和丘成桐给出了Harnack不等式的另一种认识途径, 即所谓微分Harnack 估计. Li-Yau 对 Harnack不等式的新认识对 Ricci 流发展有重要影响. 经典椭圆型偏微分方程和抛物方程中的Harnack不等式在几何流中, …
Complex analysis 6: Harnack’s inequality Read MoreImprovements of Euler’s inequality
匡继昌的不等式著作”常用不等式(Applied Inequalities)”名头很大. 我拥有的第一本是第二版, 由湖南教育出版社出版, 是 \(32\) 开, 不是后来第三版, 第四版的 \(16\) 开. 第二版的页码好像比第三部, 第四版要少那么一点. 当年我阅读这书, 几何不等式这一章, 有这么一个不等式(也就是第四版 \(244\) 页的 \(76\)), 是 Bandila. V. 在 1985 年提出: \begin{equation}\frac Rr\geqslant\frac bc+\frac cb,\end{equation} 这里 …
Improvements of Euler’s inequality Read MoreComplex analysis 5: Abel’s theorem
这里指的是复分析中关于幂级数的 Abel’s theorem, 目的是讨论幂级数在收敛圆周的性态. \( D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\} \). Let \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)\)be a power series, and the radius of convergence of \(f(z)\) is \(1\), \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s\). we cannot …
Complex analysis 5: Abel’s theorem Read MoreInternational Mathematics Competition for University Students(IMC) 2013
Day 1 Problem 1. Let \(\rm A\) and \(\rm B\) be real symmetric matrixes with all eigenvalues strictly greater than \(1\). Let \(\lambda\) be a real eigenvalue of matrix \(\rm …
International Mathematics Competition for University Students(IMC) 2013 Read MoreUSAMO 2013 solutions
USAMO 2013 official solutions 2013 美国数学奥林匹克官方解答 USAMO 2013
USAMO 2013 solutions Read MoreThe prime tuples conjecture and \(\pi(m+n)\leqslant \pi(m)+\pi(n)\)
质数 \(k\)-tuples 猜想和 \(\pi(m+n)\leqslant \pi(m)+\pi(n)\) 是 Hardy 和 Littlewood 提出的两个关于质数分布的猜测. 习惯上, 人们也把前一个猜想称为第一 Hardy-Littlewood 猜想(Prime \(k\)-tuple), 后一个称为第二 Hardy-Littlewood 猜想(Second Hardy–Littlewood conjecture). 这两个猜想都还没有解决, 但数学家们倾向于认为质数 \(k\)-tuples 猜想是正确的, 并且存在无穷多组正整数 \(m,n\), 使得 \(\pi(m+n)\gt\pi(m)+\pi(n)\). 质数 \(k\)-tuples 猜想 整数 \(k_0\geqslant1\), …
The prime tuples conjecture and \(\pi(m+n)\leqslant \pi(m)+\pi(n)\) Read More