Power, Simplicity and Beauty
For which positive integers \(a, b, c, d\), any natural number \(n\) can be represented as \[n=ax^2+by^2+cz^2+dw^2,\] where \(x, y,z,w\) are integers? Lagrange’s four-square theorem states that \((a,b,c,d)=(1,1,1,1)\) works. Ramanujan …
Generalisations of Lagrange’s four-square theorem Read MoreLizhen Ji’s new book “Great Mathematics Books of the Twentieth Century: a Personal Journey” has just been published. 季理真的新书”二十世纪伟大的数学书:个人之旅” 刚刚由高等教育出版社推出. 海量的数学书,哪些值得我们认真读, 哪些读后让我们对数学有更好的认识, 这些对门外汉, 学生, 年轻的学者和专家都是非常需要解决的问题. 季理真教授的新作”二十世纪伟大的数学书――个人之旅”)great mathematics books of the …
Great Mathematics Books of the Twentieth Century: a Personal Journey Read MoreIMO 2013 解答 Problem 1 (Japan) 证明 1 注意到 \begin{equation}\left(1+\frac1{2a}\right)\left(1+\frac1{2a+1}\right)=1+\frac1a,\end{equation} 于是, 我们可以对形如 \begin{equation}\left(1+\dfrac1b\right)\left(1+\dfrac1{b+1}\right)\dotsm\left(1+\dfrac1{b+2^t-2}\right)\end{equation} 的乘积进行操作: 首先把因式按照如下规则配对: 若 \(b\) 是奇数, \(1+\dfrac1b\) 不动, 把 \(1+\dfrac1{b+1}\) 与 \(1+\dfrac1{b+2}\) 配对, \(\dotsc\), \(1+\dfrac1{b+2^t-3}\) 与 \(1+\dfrac1{b+2^t-2}\) 配对; …
IMO 2013 solutions Read MoreDay \(1\) Tuesday, July 23, 2013 Problem 1. Prove that for …
IMO 2013 Colombia Read More不存在无穷质数等差数列. 下面是几种证明: 设等差数列的首项为 \(a\), 公差为 \(d\). 证明 1 分两种情况: a=1. 此时 \(1+(d+2)d=(d+1)^2\) 是合数; \(a\geqslant2\). 此时 \(a+ad=a(d+1)\) 是合数. 证明 2 连续合数可以任意长, 这是熟知的. 不曾想, 一个副产品居然就是我们的目标. \((m+1)!+2,(m+1)!+3,\dotsc,(m+1)!+m+1\) 是 \(m\) 个连续合数. 证明 3 稍强一点的结果 …
The primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions Read More在平面几何中, 至少有两个 Van Aubel 定理. 第一个, 关于三角形的; 另一个, 是关于四边形的. 定理 1 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点, \(PA,PB,PC\) 分别交对边于 \(D,E,F\), 则 \[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{FA}{FB}.\] 这个有些时候, 也被称为 Van Obel 定理的结论据说比较给力, 可以用来解决很多问题. 至于证明, 使用面积是最简单的. 记 \(S_a=S_{\triangle PBC}, S_b=S_{\triangle …
Van Aubel’s theorem Read More单墫的数论书 “趣味数论” 是一本不错的数论入门书. 这是我看过的第一本完全的数论书籍. 阅读本书不需要多少准备知识, 初中毕业生基本没有什么困难. 当然, 一个爱思考的大脑, 对数学的热爱, 一支铅笔一张纸肯定是不能缺少的! 对数学竞赛来说, 需要的数论知识点, 这书都有, 除了不是必须的二次剩余. 这书有不少堆垒数论的问题. 除此之外, 第七章是丢番图逼近的简单介绍, 第九章, 第十章可以看作解析数论, 代数数论的最简单入门. 这些数论分支, 继续深入, 都有很多好的文献. 单墫的的书, 有一些共同的特征: 问题多, 定理少! 这在本书也得到完整的体现. 本书最早由中国青年出版社出版, 是绿色封皮. 最新的第二版, …
Zun Shan’s book “Fun Number Theory” Read MoreHow to run Asymptote with \(\rm\TeX\) Live? Adding a new tool to TeXworks: Go to the Preferences, and click Typesetting. You will see two tabs ‘+’. Click on the one beside the Processing tools- to …
Run Asymptote with TeX Live Read More