北京时间 27 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析
1. 用开覆盖定理证明闭区间上的连续函数必一致连续.
2. \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的实函数. 叙述关于 Riemann 和
\[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\]
的Cauchy准则(不用证明), 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. \((a,b)\) 上的连续函数 \(f(x)\) 有反函数.证明反函数连续
4. \(f(x_1,x_2,x_3)\)是 \(C^2\)映射,
\[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0\]
证明关于 \(f\) 的隐函数定理 \(x_1=x_1(x_2,x_3)\). 证明 \(x_1=x_1(x_2,x_3)\) 二次可微并求出 \(\frac{\partial^2 x_1}{\partial x_2\partial x_3}\) 的表达式.
5. \(n\ge m\), \(f\colon U\subseteq R^n\rightarrow R^m\) 是 \(C^1\) 映射, \(U\) 为开集且 \(f\) 的 Jacobi 矩阵秩处处为 \(m\). 证明 \(f\) 将 \(U\) 中的开集映为开集.
6. \(x_1=\sqrt{2}\), \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\), \(n=1\), \(2\), \(\dotsc\). 证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求极限值.
7. 证明 \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x \mathrm dx\) 收敛, 并求值(写出计算过程)
8. (A)证明若 \([a,b]\)上的多项式序列 \(p_n(x)\)使得 \(\int_a^b p_n^2(x)dx=1\), \(\int_a^b p_m(x)p_n(x)dx=0\), \(m\ne n\), 并使得对于 \([a,b]\) 上的连续函数 \(f(x)\) 若 \(\int_a^b f(x)p_n(x)dx=0,\forall n\) 必有\(f\equiv 0\). (B)设 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 平方可积, \(g\) 关于 A 中 \(p_n\) 的展式系数为 \(g(x)\sim\int_a^b g(x)p_n(x)dx\)问 \(\int_a^b g^2(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left[\int_a^b g(x)p_n(x)dx\right]^2\)是否成立?
9. 正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n\) 收敛, \(\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=0\). \(c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1\). 证明 \(\{c_n\}\) 收敛并求 \(\lim\limits_{n\to +\infty}c_n\).
10. 幂级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\) 收敛半径为 \(R\), \(0\lt R\lt+\infty\). 证明 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nR^n\) 收敛的充要条件为 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\) 在 \([0,R)\)一致收敛.
