Power, Simplicity and Beauty
北京时间 2018 年 12 月 23 日上午数学基础考试1 1. 讨论数列 \(a_n=\sqrt[n]{1+ \sqrt[n]{2+ \sqrt[n]{3+\dotsm+ \sqrt[n]n } } }\) (\(n\) 个根号) 的敛散性. 2. 设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)=f(b)\), 证明: \(\exists x_n\), \(y_n\in[a,b]\)s.t. \(\lim\limits_{n\to\infty}\big(x_n-y_n\big)=0\) …
Peking university 2019 mathematics postgraduate entrance examination–mathemematics Basic examination 1 Read More2018 第 59 届 IMO 解答 今年的解答是姗姗来迟. Problem 1 ()
IMO 2018 solutions Read More2018 年IMO 国家队队员李一笑——来自江苏天一中学——的大作 “2018 年国家集训队第一阶段选拔试题及解答”. 文档转载自数学新星网. 2018 China IMO team selection test part one 2018 年国家集训队第二阶段选拔试题来自贴吧
2018 China IMO team selection test Read MoreTheorem. There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\). The relevant facts are that \(S_4\) is a complete group(no outer automorphisms, trivial center) which is …
There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\) Read More北京时间 2017 年 12 月 24 日上午的数学分析 下面的试题, 除了第 3 与第 5 题与实际考卷稍有出入, 其余的题与考场上卷子的用词句子甚至排版都是完全一模一样的! 1. 证明如下极限: (1) \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(1+\int_0^1\dfrac{\sin^n x}{x^n}\;dx\Big)^n=+\infty\); (2) \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\int_0^1\dfrac{\sin x^n}{x^n}\;dx\Big)^n=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}e^{\frac{(-1)^k}{2k(2k+1)!}}\); (3) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\Big(1+\dfrac{k^2-k}{n^2}\Big)=\ln 2-2+\dfrac\pi2\). 2. \(f\in C(0,1)\), \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\alpha\lt\beta=\dfrac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}\), 这里 …
Peking university 2018 mathematics postgraduate entrance examination–mathemematics Basic examination 1 Read More不是完整的试题解答, 仅仅在关隘的地点聊一聊. 付云皓的题 3 的解 记 \(a=[nq^{\frac13}]\), \(b=[nq^{\frac23}]\), \(c=nq\). 然后 \begin{equation}\begin{split}\Big(c-aq^{\frac23}\Big)^2+\Big(c-bq^{\frac13}\Big)^2+\Big(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2&=\frac{2(a^3q^2+b^3q+c^3-3abcq)}{aq^{\frac23}+bq^{\frac13}+c}\\&\geqslant\frac2{3c},\end{split}\end{equation} 最后的不等式是因为 \(a^3q^2+b^3q+c^3\gt 3abcq\), 并且 \(c\geqslant aq^{\frac23}\), \(c\geqslant bq^{\frac13}\). 然后, 因为 \(c-aq^{\frac23}\geqslant0\), \(c- bq^{\frac13}\geqslant0\), 以及 \(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}=-\Big((c-aq^{\frac23})-(c-bq^{\frac13})\Big)\), 得到 \begin{equation}\Big(c-aq^{\frac23}\Big)^2+\Big(c-bq^{\frac13}\Big)^2\leqslant\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2,\end{equation} 与 \begin{equation}\Big(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2\leqslant\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2.\end{equation} 现在, \((1)\) …
Solutions to 2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO) Read More第 33 届中国数学奥林匹克 浙江 杭州 第一天 (2017 年 11 月 15 日 8:00–12:30) 1. 设 \(A_n\) 是满足以下条件的素数 \(p\) 的集合: \(\exists a\), \(b\in\Bbb N^+\), 使得 \(\dfrac{a+b}p\), \(\dfrac{a^2+b^2}{p^2}\) 都是正整数, 且 \[\Big(\frac{a+b}p, p\Big)=\Big(\frac{a^2+b^2}{p^2}, …
2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO) Read More既然奇次多项式会变号, 那么设 \(d\) 次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 则 \(d\) 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.
Hilbert’s 17th Problem 6: History Read More