college mathematics competition

北京时间 27 日下午举行的硕士研究生初试的高等代数与解析几何 1. 在 \(\Bbb R^3\)上定义线性变换 \(A\), \(A\) 在自然基 \[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\] 下的矩阵为 \[\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)\] 求 \(\Bbb R^3\) 的一组基,使得 \(A\) …

北京时间 27 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析 1. 用开覆盖定理证明闭区间上的连续函数必一致连续. 2.  \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的实函数. 叙述关于 Riemann 和 \[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\] 的Cauchy准则(不用证明), 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积. 3. \((a,b)\) 上的连续函数 \(f(x)\) 有反函数.证明反函数连续 4. \(f(x_1,x_2,x_3)\)是 \(C^2\)映射, \[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0\] 证明关于 \(f\) …

北京时间 28 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析 1. 计算 \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}\). 2. 论证积分 \(\int_1^{+\infty}\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\sin{\frac1x}\right]\,\mathrm dx\) 的敛散性. 3. 函数 \(f(x,y)=\begin{cases}\left(1-\cos\frac{x^2}y\right)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}\) \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 是否可微? 说明理由. 4. 计算 \(\int_L e^x\left[\left(1-\cos y\right)\,\mathrm dx-\left(y-\sin …

1.  办法之一是下面的 引理 设 \(g(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0\) 是实系数多项式, 则在任意互不相同的 \(n+1\) 个整数 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_{n+1}\) 中, 必定存在一个 \(b_j(1\leqslant j\leqslant n+1)\), 使得 \(|P(b_j)|\geqslant\dfrac{n!}{2^n}\). 第二个考虑是, 设存在非常数整系数多项式 \(u(x)\), \(v(x)\) 使得 \[f(x)=u(x)v(x).\] 因为 \(f(x)\) 恒正, 可以假定 \(u(x)\), \(v(x)\) 亦然. 于是,  \(u(x)\), \(v(x)\) 的次数都是偶数. 显然, …