IMO 2017 solutions
2017 第 58 届 IMO 解答 Problem 1 (South Africa) Lemma 1 当实数 \(x\geqslant6\), 则 \(x\lt(x-3)^2\). Lemma 2 若整数 \(m\) 符合 \(m \equiv 2\pmod3\), 则 \(m\) 不能是完全平方. 若数列 \(\{a_n\}\) 的某一项 \(\gt1\), …
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Mathematical Olympiad
IMO 2017 Brasil
Day \(1\) Tuesday, July 18, 2017 Problem 1. For each integer \(a_0\gt1\), …
IMO 2017 Brasil Read More2017 China IMO team selection test 2
试题来自贴吧 这里转一下贴吧网友 1a2b03c 给出的题 6 有关的一个关键, 这网友水平挺高的 \(\alpha\), \(\beta\) 都是无理数, 邓煜的看法: 最后那里可以不用极限来说. 只要证明对任何 \(c\gt0\), 存在 \(n\) 使得\(\{n\beta\}\) 属于 \((b_3, b_4)\) 且 \(\{n\alpha\}\lt c\) 即可. 假设不然, 由引理 3, 取 \(n^\prime\) 和 \(n^{\prime\prime}\) …
2017 China IMO team selection test 2 Read More2016 Chinese Mathematical Olympiad(CMO)
第 32 届中国数学奥林匹克 湖南 长沙 第一天 (2016 年 11 月 24 日 8:00–12:30) 1. 数列 \(\{u_n\}\), \(\{v_n\}\) 满足: \(u_0=u_1=1\), \(u_n=2u_{n-1}-3u_{n-2}(n\geqslant2)\), \(v_0=a\), \(v_1=b\), \(v_2=c\), \(v_n=u_{n-1}-3u_{n-2}+27v_{n-3}(n\geqslant3)\). 已知存在正整数 \(N\), 使得当 \(n\geqslant N\) 时, \(u_n\mid v_n\). …
2016 Chinese Mathematical Olympiad(CMO) Read MoreIMO 2016 solutions II
这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成. 以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序, 因此, \begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation} 既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是 …
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2016 第 57 届 IMO 解答 Problem 1 (The Kingdom Of Belgium) 注意 \(\triangle FAB\), \(\triangle DAC\), \(\triangle EAD\) 是顶角相等的等腰三角形, 即 \[\angle FBA=\angle FAB=\angle DAC=\angle DCA= \angle EAD=\angle EDA.\] 既然 \(\triangle FAB\sim \triangle …
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