May 062025
 

Functional Analysis Notes (2011) Andrew Pinchuck 的107页讲义,条理非常清晰,泛函分析基础的所有主要结论都包括进来了。

作者把 PDF 从主页移除了;如果要纸质版,可以留言

学习泛函分析的教科书很多,这个讲义只有概念和定理,例题也很稀缺,但结论都应当记住。

限于篇幅,泛函分析很多的课题都没有深入

如果想短时间了解泛函分析,可以拿这个讲义来学习。学习本讲义大抵只要数学分析、基本的高等代数、点集拓扑为先修。

这里要指出的是这个讲义的几个错误或疏忽,并作一些补充:

  • 定理5.5.2的(b),证明的第一部分,两个拓扑实际是同一个时,要指出X 是有限维,这个证明肯定是通不过的,但是中间那一部分论证还是有用的。要完成证明,还要加补充不少。
  • 定理5.2.1的证明的最后,\(||f || =1\) 的论证,要做一些修正。思路没问题,要订正的是细节。
  • 定理5.5.4 的证明,要对本讲义的 Hahn-Banach 定理做很多深入探究才行。
  • 定理5.5.5 的(b)和(c): (b)的证明用到了 Proposition 4.2.4,然而Proposition 4.2.4只处理了X 是有限维,无限维要做一些说明。(无限维空间X 的dual space 的维数的细致结果并不容易得到);至于(c),讲义实际没有给证明。 (c)的证明,用接下来的定理 5.5.6 可以;然而,在一种特殊情形可以有另外的办法,即当 X 是 Banach 空间,先用定理5.5.7,然后利用定理5.5.10,最后是定理5.3.2.
  • 定理5.5.7的证明没有问题,但是这个证明远远不是看起来那么简单:在拓扑空间中证明某个子集为闭,采用了 net (序列的推广)的新事物,然则这个概念,例如,参考 Munkres 187 页。
  • 定理 5.5.10 的证明也用到了 net.
  • 定理 5.5.8 的证明,typos 至少有四处。不是直接利用 Hahn-Banach Theorem, 而是定理5.2.1
Dec 182012
 

Stein的”Princeton Lectures in Analysis”四卷集中的最后一卷”Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis”的影印本出版

Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis

Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis

本书是Stein的”Princeton Lectures in Analysis”四卷集中的最后一卷, 这个系列的教科书旨在全面剖析分析的核心, 从泛函分析的基础开始, 讲述Banach空间, \(L^p\) 空间和分布理论, 强调了它们在调和分析中的核心地位. 接着应用Baire范畴定理详解了一些重点, 包括Besicovitch集合的存在性; 本书的第二部分引导读者进入概率论和 Brown 运动等分析的其他核心话题, 以Dirichlet问题作为结束; 最后几章讲述了多复变量和Fourier分析中的振荡积分, 并简述了在非线性色散方程中的计数网格点问题中的应用. 作者通篇紧紧围绕这个理论诸领域的核心思想, 使得本课题的各个有机部分更加紧凑, 层次分明, 清晰易懂.

书名: 泛函分析(Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis)
作者: Elias M. Stein & Rami Shakarchi
装帧: 平装
页码: 423
开本: 24
定价: 69人民币元
ISBN: 978-7-5100-5035-0
出版时间: 2012.12
出版社: 世界图书出版公司北京公司