密率法(density)是数论常用的方法之一. 这个方法有一个独有的优点: 可以得出很多关于每一个自然数都成立的精彩结论. 这一点令筛法或圆法望尘莫及: 筛法或圆法得到的结果只对充分大的自然数成立.
密率这个概念是Lev Schnirelmann 在两篇分别发表于 1930 年, 1933 年的论文提出的. 很多的数论书, 都有专门的章节论述密率, 比如, [1]的第十九章, [2]的第一章和第五章, [3]的第一章, [4]的第十一章, 等等. 还有的书, 把密率法作为专门的方法加以介绍, 比如, [5]的第十一章, [6]的第二节, 等等.
密率在数论的许多非常惊世骇俗的进展, 诸如哥德巴赫猜想, 华林问题, Szemerédi’s theorem, Green-Tao 定理, 等等, 扮演了重要角色.
Schnirelmann 小传
Schnirelmann 1905 年 1 月 2 日出生在 Gomel, 这个小镇现在属 Belorussia. 他的父亲是一个俄文老师. Schnirelmann 在 Gomel 生活了十六年.
早在童年时期, Schnirelmann 就已经在许多领域展现了他的天才. 在 8-12 岁的时候, 他热衷于绘画, 作诗. 他写的诗, 用与其年龄不相称的方式来解释亲身经历过的事件.
Schnirelmann 对数学表现出热情的时候, 只有 12 岁, 当时他依靠自己完成了一门初等数学课程. 就在这一时期, 他开始学习深一些的数学文献. Schnirelmann 花了好几个月参加 Gomel 当地为高中毕业生开设的一些数学和物理课程. 就在这里, Schnirelmann 的天才引起了 L.I. Kreer 的注意, 后者当时是 North-Caucasian Pedagogical 学院的教授. 因为 L.I. Kreer 的举荐, 当地的教育部门 1919 年 4 月给 Schnirelmann 的父母写了一封信, 出于对孩子将来的教育负责, 提出把 Schnirelmann 送到莫斯科两年. 在 Schnirelmann 15 岁的时候, 已经在自修数学.
1921 年, Schnirelmann 16岁, 入读莫斯科大学. 两年半后, Schnirelmann 就毕业了. 在这期间, Schnirelmann 学习了 Lusin 的实变函数, Urysohn 的点集拓扑, Khinchine 的 Diophantine 逼近.
1924 年秋天, Schnirelmann 在莫斯科大学的数学和力学的研究所, 是这机构的候选成员. 在 Schnirelmann 还是学生, 以及在研究所的这段时间, Schnirelmann 在代数, 几何, 拓扑领域已经完成了好几篇论文. 在这些论文中, 有一篇 “On multiplicative forms”, 构成他毕业论文的基础. 在他学术生涯的早期, Schnirelmann 就对自己高标准, 严要求. 他不发表不成熟的文章, 哪怕已经得到了不错的结果.
1925 年, Schnirelmann 在莫斯科大学得数学博士, 导师是 Nikolai Nikolayevich Luzin.
Schnirelmann 第一次正式发表论文是在1929 年. 这篇 1926-1927年间写成的文章, 是内接正方形问题取得的一个突破. 几何中有一个所谓的内接正方形问题(Inscribed square problem), 今天还是未决 open problem. 这问题是这样的: 是否每个 Jordan curve 都有内接正方形? 也就是说, 是否总能在一个简单闭曲线上找出构成正方形的四个点？Schnirelmann证明了, 对于曲率有界的简单闭曲线, 答案是肯定的.
1927-1929年间, Schnirelmann 和 L. A. Liusterik 合作, 发了一系列的论文研究变分学中的拓扑方法. 就是这些文章, 完整解决了 Poincare 的一个关于闭曲面上必有三条闭测地线–而且不会超过三条–的猜想.
1929 年, Schnirelmann 完成了在研究所的事情, 并且写了关于分析中的定性方法的文章. 就是这一年, Schnirelmann 成了座落在小镇 Novocherkask 的Donsk Polytechnic 学院的数学系主任. 就在这个学院, Schnirelmann 开始学习数论, 并且得到了几个重要的结果. 这些结果中的一个, 就是在哥德巴赫猜想上取得的突破. 当时, 数学家相信使用已有方法是不可能突破哥德巴赫猜想的. Schnirelmann 为序列的算术这个新的领域打下基础, 证明了几个重要定理. Schnirelmann 的论文发表在学院的刊物上–这个杂志可不是什么有名的刊物. 然而, 这些论文引起了专家们的注意. 不久, 数论专家 Landau 写了一篇文章介绍 Schnirelmann 的工作.
1930年的夏天, Schnirelmann 出席了全苏联的第一届数学大会. 在这次大会上, 只有 25 岁的 Schnirelmann, 已经是苏联数学界的领袖人物之一. 大会结束后, Schnirelmann 返回了莫斯科. 翌年, 他成为莫斯科大学数学与力学研究所是永久成员. 他也在莫斯科大学讲授几个科目, 组织一些讨论班.
1931 年, Schnirelmann 被派往国外三个月. 这期间, Schnirelmann 继续考虑加性数论的问题, 准备纪念的讨论班, 后来发表在数学年刊. 根据 Khinchin(辛钦) 在 [6] 的说法, Schnirelmann 去的是当时世界数学的朝圣地–哥廷根! 在那里, Schnirelmann 见到了 Landau, 两人提出了一个猜想 \(d(A+B)\geqslant\min\{d(A)+d(B),1\}\). 当年秋天, Schnirelmann 返回莫斯科.
1933年, Schnirelmann 被派到科学院, 任职一个同等的职位. 然后, 从 1934年开始工作在科学院的数学机构. 他的数学工作涉及数论, 代数, 分析中的许多的问题.
包括社会活动在内, Schnirelmann 是一个有着广泛兴趣的人. Schnirelmann 曾经花费很多心力提高国家的数学教育. 他参与有关的公开讨论, 在包括真理报在内的许多出版物上表达看法. 他给了一系列的演讲, 评论数学文献, 讨论新课程的设置, 为初等教育的老师讲述数论, 给年轻人做普及讲座. 他的看法在数学教育发挥了重要的作用. 他担任莫斯科数学会的领导多年, 还一度担任副会长.
庆祝十月革命二十周年的时候, Schnirelmann 和其他几个年轻的学者, 被科学院授予一个奖项. 在他生命的最后一年, Schnirelmann 高强度的投入研究工作, 获得了一系列的新结果. 有些结果仅仅是他去世前不久才寄给刊物.
Schnirelmann 指导过一个学生, 1936 年在莫斯科大学得到博士的 Nikolai Pavlovich Romanov, 论文是关于数论的.
据 Lev Pontryagin(庞特里亚金)回忆, Schnirelmann 1938 年 9 月 24 日在莫斯科自杀身亡.
Schnirelmann 的数学成就
Schnirelmann 的学术成绩, 首先在代数领域取得.
References
- 华罗庚, 数论导引
- 闵嗣鹤, 数论的方法
- A.O. Gelfond, Yu. V. Linnik, Elementary Methods in Analytic Number Theory
- Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition
- Melvyn B.Nathanson, Elementary Methods in Number Theory(GTM 195)
- A. Y. Khinchin,Three Pearls of Number Theory