Power, Simplicity and Beauty
仅用圆规找中点 线段 \(AB\) 已给, 仅仅用圆规找其中点. 本题也很有意思, 尺规作图. 不过, 这不算神奇, 即便生锈圆规出马, 也就是把圆的半径固定, 例如 \(1\), 也一样可以完成任务. 作法 分别以 \(A,B\) 为圆心, \(AB\) 为半径画圆(绿色)交于 \(C\); 在圆 \(B\) 上取 \(D,E\) 两点, 使 \(CD=DE=AB\), 则 \(AE=2AB\); 以 \(E\) 为圆心, \(AE\) 为半径画圆(黄色)交圆 \(A\) 于 \(F,G\); 分別以 \(F,G\) 为圆心, \(AF\) 为半径画圆(红色), 交于 \(A,I\) 两点, 则 \(I\) 就是 \(AB\) 中点.
Find the midpoint of a segment with compass alone Read More仅用圆规找圆心 俺对尺规作图(Compass and straightedge constructions)一直有浓厚的兴趣. 这里有一个有趣的问题: 圆 \(\color{red}O\) 给定, 仅仅使用圆规找出圆心. 下面给出两种作图办法, 没有证明, 但不困难. 图来自网络, 但作图办法不是. 作法 \(1\) 在圆 \(O\) 上任取一点 \(A\),以 \(A\) 为圆心画圆, 交圆 \(O\) 于 \(B,C\) 兩点; 分別以 \(B,C\) 为心,\(AB\) 为半径画圆交于 \(D\) 点; …
Find the center of a circle with compass alone Read More开篇 Zsigmondy’s theorem states that if \(a>b>0\) and \(n>1\) are positive integers, then \(a^n+b^n\) has at least one prime factor that does not divide \(a^k+b^k\) for all positive integers \(k<n\), with …
Zsigmondy’s theorem Read MoreMediaWiki 是影响最大的 wiki 程序, 支持输入\(\rm\TeX\) 公式. 官方有详细文档, 解释了如何实现这样的效果. 实际上，有几个途径可以达到目的. 比如, 可以利用 Texvc , 只要在 MediaWiki 根目录的 LocalSettings.php 写上 $wgUseTeX = true; 即可. 详细参照这个页面. 下面，我们还是来说下如何安装使用 MathJax. 官方安装步骤使用办法在这里 , 下面是中文版: 1. 在MediaWiki 根目录的 extensions 文件夹内, 新建一个名为 MathJax 的子文件夹; 2. 下载 MathJax.php 和 mwMathJaxConfig.js 两个文件, 然后放进刚才建立的 MathJax …
Install MathJax in MediaWiki Read MoreIn 1949, Leo Moser gave a proof of Bertrand’s postulate in the paper “A theorem of the distribution of primes”(American Mathematical Monthly,624-624,1949,vol56). Maybe this proof is the simplest one among all proofs of Bertrand’s postulate. …
Leo Moser’s proof of Bertrand’s postulate Read More2012年第三届丘成桐(Shing-Tung Yau)大学生数学竞赛(S.T. Yau College Student Mathematics Contests)笔试已于7月1, 2日成功举行. 个人赛试题 Analysis and differential equations 2012 Individual Geometry and topology 2012 Individual Algebra and number theory 2012 Individual Probability and statistics 2012 …
S.T. Yau College Student Mathematics Contests 2012 Read MoreFermat polygonal number theorem is a theorem in additive number theory, it is states that every positive integer is a sum of at most \(n n\)-gonal numbers. Let \(n\geq 3\), the polygonal numbers …
Fermat polygonal number theorem Read Moretheorem Let \(n\) be a positive integer, then \(n\) can be expressed as the sum of three squares iff it is not of the form \begin{equation}4^a(8b+7)\end{equation} for some \( a,b\in\Bbb Z,a,b\geq 0\). For a …
Sums of three squares Read More