Majorization inequality and Muirhead’s inequality
定义 定义 1[离散形式] 称 \( p=(p_1,p_2,\dotsc,p_n)\)Majorization(控制) \( q=(q_1,q_2,\dotsc,q_n)\), 记为 \(p \succ …
Majorization inequality and Muirhead’s inequality Read MoreGeneralizations of Bertrand’s postulate
Sylvester’s theorem the binomial coefficient \begin{equation}{n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\end{equation} has a prime divisor \(p\) greater than \(k\). In other words, if \(n\geq 2k\), then the product of \(k\) consecutive integers greater than \(k\) is divisible by a …
Generalizations of Bertrand’s postulate Read MoreSums of two squares
二平方和 引理 \(1\)正整数 \(a, b\) 互质, \((a,b)=1, p>2\) 是质数，并且 \(p\bigm|(a^2+b^2)\), 则 \(p\equiv1\pmod4\). 证明 不难用二次剩余(Quadratic residue)来给出证明： 由 \(p\bigm|(a^2+b^2)\) 得 \begin{equation}a^2\equiv-b^2\pmod p,\end{equation} 故而 \begin{equation}(\frac{a^2}{p})= (\frac{-1}{p})(\frac{b^2}{p}).\end{equation} 这里 \((\frac{n}{p})\) 是 Legendre symbol. 由于 \((a,b)=1\), 因之 \((p,a)=(p,b)=1\), 于是 \begin{equation}(\frac{a^2}{p})=(\frac{b^2}{p})=1\end{equation} 成为事实, …
Sums of two squares Read MoreAdvice on reading mathematics books
应该这样读数学书 看数学书, 深刻理解? 是呀, 人人都想! 这只不过是一个愿望而已, 除非你是百年难有一个的人物! 写书的人都没搞明白, 你个读者就立马清楚了, 深刻理解了?! 数学书的写法其实都有问题, 并不那么适合自学! 可为了知识能够传播, 那也没有办法. 看数学书最好的办法是从研究的角度出发: 你的研究对象是什么? 然后问自己: 基本而要紧的问题是什么;再次, 你有哪些方法, 途径和工具可以用来找出答案. 看数学书做很多习题? 不用! 比如, 复分析里面积分的题目,有价值的其实只有一个; “好多个”初等函数, 其实也只有一个… 怎样判断你是否学会了呢? 这个道理和认识一个人,了解一个人,评价一个人是一样的! 这个人从哪里来(由什么样的矛盾催生?)?父母是谁? 有些什么样的经历?有哪些思想使得他(她)成为一个人?他(她)与众不同的地方,又在哪里？?他(她)在人类历史上有哪些作用, …
Advice on reading mathematics books Read More\(\sin p\) is dense in \([-1,1]\)
Let \(\Bbb P\) be the set of all primes, the set \[\{\sin p \mid p\in\Bbb P\} \] is dense in \([-1,1]\). This problem appeared in artofproblemsolving on 22 May 2004, and has been solved in …
\(\sin p\) is dense in \([-1,1]\) Read MoreRamanujan’s proof of Bertrand’s postulate
Bertrand’s postulate states that if \(x\geq4\), then there always exists at least one prime \(p\) with\(x<p<2x-2\). A weaker but more elegant formulation is: for every \(x>1\) there is always at least one prime p such that \(x<p<2x\). In …
Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate Read MoreInstall MathJax in Discuz
Discuz 安装 MathJax 很简单, 进管理后台, SEO设置, 然后选择”其他”, 把 MathJax and \(\rm \LaTeX\) math formula 这篇日志中的代码填进去即可: 是不是看见漂亮的数学公式了? 哈!
Install MathJax in Discuz Read MoreProofs of the infinity of primes
第一个证明是哥德巴赫(Goldbach)给出的，这个证明涉及的所谓 Fermat 数总会使得人们联想起费尔马（Fermat）和高斯（Gauss）！ 我们的目的是指出任意两个 Fermat 数 \(F_n=2^{2^n}+1, n=0,1,2,\dotsc\) 互质. 下述关系式足以 \begin{equation}\prod_{i=0}^{n}F_i=F_{n+1}-2.\end{equation} 下面是Filip Saidak \(2005\) 年的证明, 发表在 “美国数学月刊” (Amer.Math.Monthly) \(2006\)年第\(113\)卷第\(10\)期\(937-938\): 任取不是 \(1\) 的自然数 \(m\), 由于 \(m\) 与 \(m+1\) 互质, 即 \((m,m+1)=1\), 于是 …
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