李氏朝鲜的第四代君主是最伟大的世宗大王. 他把王位按照嫡长子继承的原则, 传给了嫡长子文宗!  然而, 文宗体弱多病, 临终前, 任命金宗瑞为顾命大臣, 辅佐 12 岁即位的端宗.

端宗的叔父首阳大君, 谋害了金宗瑞, 成了领仪政, 掌握大权. 随后, 逼迫端宗禅让王位. 端宗做了两年上王之后, 被赐药而死.

首阳大君, 也就是世祖, 有必要杀侄儿吗? 历史上, 有哪些退位的太上皇被杀? 能找出几个?

如果不是端宗太年轻被害, 也许我不会这么同情他!  叔父首阳大君做的太过! 首阳篡位之前, 有很多次, 可能被杀!

端宗绝对不应该禅让王位的! 再怎么没有实权, 端宗是君, 首阳是臣. 除非暗杀, 否则首阳没有办法. 一旦成了别人的臣, 命完全由不得自己了.

端宗共计在位三年, 在上王位二年, 终年十七岁. 无嗣, 葬于江原道宁越郡庄陵. 这也是朝鲜王朝五百年间, 唯一一座不在京畿的王陵(追封的各王不算).

直至朝鲜肃宗七年(1681 年), 鲁山君被追封为鲁山大君, 肃宗二十四年被追尊复位, 上庙号端宗, 谥号为纯定安庄景顺敦孝大王, 陵号为庄陵. 鲁山君夫人宋氏被追封为定顺王后, 徽号为端良齐敬, 陵号为思陵. 端宗与定顺王后的神主移入宗庙永宁殿, 并举行了袝庙之礼. 与此同时”鲁山君日记”升格为”端宗实录”, 并在庄陵附近修建“死六臣祠”, 为其举行国家级别的祭祀.

挑选几个题作答, 主要是第 10 题.

If \( f\in C^1([a,b])\) is increasing and nonconstant, then

\[\int_a^b\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\, \mathrm dx \lt b-a+f(b)-f(a). \]

For \(\alpha\), \(\beta\geqslant0\), \(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\leqslant\alpha+\beta\), with equality iff one or both of \(\alpha\), \(\beta\) equals \(0\).

Now \(f ^\prime\geqslant 0\), it follows that

\[\sqrt{1+{f^\prime}^2(x)}\leqslant 1+f^\prime(x), x\in [a,b].\]

Because \(f(x)\) is nonconstant, \(f^\prime\gt0\) in a subinterval. In that subinterval we have strict inequality between these two functions. Integrating both sides then gives the result.

1. 叙述实数序列 \(\{x_n\}\) 的 Cauchy 收敛原理, 并且使用 Bolzano-Weierstrass(波尔查诺-威尔斯特拉斯)定理证明.

2. 序列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_1=1\), \(x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\), \(n=1\), \(2\),\(\dotsc\). 证明此序列收敛并求极限.

3. 计算 \(\iiint_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2}\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\), 其中 \(\Omega\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与 \(z=1\) 围成的有界区域.

4. 证明函数项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x^3e^{-nx^2}\) 在 \([0,+\infty)\) 一致收敛.

5. 讨论级数 \(\sum\limits_{n=3}^{+\infty}\ln \cos\dfrac\pi n\) 的敛散性.

6. 设函数 \(f\colon\Bbb R^n\to\Bbb R\) 在 \(\Bbb R^n\setminus\mathbf0\) 可微, 在 \(\mathbf0\) 点连续, 且 \(\lim\limits_{\mathbf p\to \mathbf0} \dfrac{\partial f(\mathbf{p})}{\partial x_i}=0\), \(i=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n\). 证明 \(f\) 在 \(\mathbf0\) 处可微.

7.  设 \(f(x)\), \(g(x)\) 是 \([0,1]\) 上的连续函数, 且 \(\sup\limits_{x\in [0,1]}f(x)=\sup\limits_{x\in [0,1]}g(x)\). 证明存在 \(x_0\in[0,1]\), 使得 \(e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0)\).

8. 记 \(\Omega=\{\mathbf p\in\Bbb R^3| |\mathbf p|\leq1 \}\), 设 \(V\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^3\), \(V=(V_1, V_2, V_3)\) 是 \(C^1\) 向量场, \(V\) 在 \(\Bbb R^3\setminus\Omega\) 恒为 \(0\), \(\dfrac{\partial V_1}{\partial x}+\dfrac{\partial V_2}{\partial y}+ \dfrac{\partial V_3}{\partial z}\)在 \(\Bbb R^3\) 恒为 \(0\).
(1) 若 \(f\colon\Bbb R^3\to\Bbb R\) 是 \(C^1\) 函数, 求 \(\iiint_{\Omega}\bigtriangledown f\cdot V\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\).
(2) 求 \(\iiint_{\Omega}V_1\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\).

9. 设 \(f\colon\Bbb R\to\Bbb R\) 是有界连续函数, 求 \(\lim\limits_{t\to0^+}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \frac{t}{t^2 + x^2}\,\mathrm dx\).

10. 设 \(f \colon [0,1] \to [0,1]\) 是 \(C^2\) 函数, \(f(0)=f(1)=0\), 且 \(f^{\prime\prime}(x)\lt0\), \(\forall x\in[0,1]\). 记曲线 \(\{(x,f(x))|x\in[0,1]\}\) 的弧长是 \(L\). 证明 \(L\lt3\).