Tag: Peking University

1.  办法之一是下面的 引理 设 \(g(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0\) 是实系数多项式, 则在任意互不相同的 \(n+1\) 个整数 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_{n+1}\) 中, 必定存在一个 \(b_j(1\leqslant j\leqslant n+1)\), 使得 \(|P(b_j)|\geqslant\dfrac{n!}{2^n}\). 第二个考虑是, 设存在非常数整系数多项式 \(u(x)\), \(v(x)\) 使得 \[f(x)=u(x)v(x).\] 因为 \(f(x)\) 恒正, 可以假定 \(u(x)\), \(v(x)\) 亦然. 于是,  \(u(x)\), \(v(x)\) 的次数都是偶数. 显然, …

Solutions to Peking university 2014 mathematics postgraduate entrance examination 2 Read More

李氏朝鲜的第四代君主是最伟大的世宗大王. 他把王位按照嫡长子继承的原则, 传给了嫡长子文宗!  然而, 文宗体弱多病, 临终前, 任命金宗瑞为顾命大臣, 辅佐 12 岁即位的端宗. 端宗的叔父首阳大君, 谋害了金宗瑞, 成了领仪政, 掌握大权. 随后, 逼迫端宗禅让王位. 端宗做了两年上王之后, 被赐药而死. 首阳大君, 也就是世祖, 有必要杀侄儿吗? 历史上, 有哪些退位的太上皇被杀? 能找出几个? 如果不是端宗太年轻被害, 也许我不会这么同情他!  叔父首阳大君做的太过! 首阳篡位之前, 有很多次, 可能被杀! …

Solutions to Peking university 2014 mathematics postgraduate entrance examination 1 Read More

1.令 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^{2013} (x-i)^2+2014\), \(f(x)\) 在有理域内可约吗? 证明你的结论. 2. \(M\), \(N\) 都是 \(n\) 阶矩阵, \(n\geq2\). 如果 \(MNMN \) 为零矩阵, 那么 \(NMNM\) 是否也一定是零矩阵? 证明你的结论. 3. \(n\geq2\). 除了单位矩阵, 还有别的埃尔米特矩阵 \(M\) 满足下面的条件吗？ \[4M^5+2M^3+M=7E_n,\] 其中, \(M\) 是与 …

Peking university 2014 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2 Read More

1. 叙述实数序列 \(\{x_n\}\) 的 Cauchy 收敛原理, 并且使用 Bolzano-Weierstrass(波尔查诺-威尔斯特拉斯)定理证明. 2. 序列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_1=1\), \(x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\), \(n=1\), \(2\),\(\dotsc\). 证明此序列收敛并求极限. 3. 计算 \(\iiint_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2}\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\), 其中 \(\Omega\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与 \(z=1\) 围成的有界区域. 4. …

Peking university 2014 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1 Read More