Power, Simplicity and Beauty
这里将在有理数域 \(\Bbb Q\) 中来考察 Fermat 的平方和, 慢慢走向椭圆曲线(elliptic curve). 首先指出, \(n\in\Bbb N\) 是否两个有理数的平方和, 与其是否两个整数的平方和, 是一码事. 定理 设 \(n\in\Bbb N\), 则下面两件事情等价: 存在 \(x,y\in\Bbb Q,\) 使得 \(n=x^2+y^2\); 存在 \(x,y\in\Bbb N,\) 使得 \(n=x^2+y^2\). 只要说明 \(1\Rightarrow2\) …
Hilbert symbol and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More质数 \(p=4n+1\), 那么存在 \( a,b\in\Bbb Z,\) 并且 \begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\end{equation} 使得 \( p=a^2+b^2.\) 这是 Gauss 在 \(1825\) 年的一个结果, 已经指出了适合 Fermat 平方和定理的唯一一对 \(a,b\): 由 \begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\quad a<\frac{|p|}2\end{equation} 可决定唯一的一个 \(a,\) 然后 \begin{equation}b\equiv …
Gauss’s construction on Fermat’s sums of two squares Read MoreZagier 的一句话证明(1990) 有限集 \(S=\{(x,y,z)\in\Bbb N^3|x^2+4yz=p\}\) 上的对合(Involution) \[f:S\rightarrow S,\quad (x,y,z)\mapsto\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z)\quad x<y-z;\\(2y-x,y,x-y+z)\quad y-z<x<2y;\\(x-2y,x-y+z,y)\quad 2y<x,\end{cases}\] 恰有一个不动点 \((1,1,\frac{p-1}4)\), 这意味着 \(|S|\) 为奇数, 从而 \(S\) 的另一个对合 \[g:S\rightarrow S,\quad(x,y,z)\mapsto(x,z,y)\] 必有不动点 \((x,y,z)\), 它满足 \(y=z\), 进而 \[p=x^2+4y^2=x^2+(2y)^2. \Box\]
Fixed point and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More奇质数 \(p\) 能表成两个正整数的平方和, 当且仅当 \(p\equiv1\pmod4.\) Fermat 的这个平方和定理, 非常简洁, 相当漂亮! 这是我见过最多证明的定理, 比质数无限性的证明都多! 先看一看以 Minkowski定理(Minkowski’s theorem)为工具, 来给出Fermat定理的证明. 这个证明, 是 \(20\) 世纪才发现的. 我们从 Minkowski 的一个结果开始, 尽管看起来似乎和Fermat的平方和定理没有关系. 定理(Minkowski) \(a,b,c\in\Bbb Z, a>0,ac-b^2=1,\) 那么方程 \(ax^2+2bxy+cy^2=1\) 有整数解. 证 这定理其实仅是华罗庚的数论导引定理\(20.1.4\) …
Minkowski’s theorem and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More如果把能表示成两个整数平方和的正整数, 按从小到大排成一列: \begin{equation}a_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=5,\dotsc.\end{equation} 那么这个数列, 不妨名为二平方和数列, 有什么性质? 先来考察二平方和之间的间隙, 也就是数列 \((1)\) 中, 相邻两项的差的问题. 这个差, 有界还是无界?事实上, 这个差可以任意的大, 即我们有下面的定理: 定理 \(1\) 记 \(d_n=a_{n+1}-a_n(n\geqslant1),\) 则 \begin{equation}\varlimsup_{n\rightarrow\infty}d_n= \infty.\end{equation} 换句话说, 我们可以找到任意多个连续的正整数, 它们都不在 \((1)\) 中. 证明 工具是中国剩余定理(Chinese remainder theorem). 取 …
The sequence of integer sums of two squares Read Moretheorem Let \(n\) be a positive integer, then \(n\) can be expressed as the sum of three squares iff it is not of the form \begin{equation}4^a(8b+7)\end{equation} for some \( a,b\in\Bbb Z,a,b\geq 0\). For a …
Sums of three squares Read More二平方和 引理 \(1\)正整数 \(a, b\) 互质, \((a,b)=1, p>2\) 是质数，并且 \(p\bigm|(a^2+b^2)\), 则 \(p\equiv1\pmod4\). 证明 不难用二次剩余(Quadratic residue)来给出证明： 由 \(p\bigm|(a^2+b^2)\) 得 \begin{equation}a^2\equiv-b^2\pmod p,\end{equation} 故而 \begin{equation}(\frac{a^2}{p})= (\frac{-1}{p})(\frac{b^2}{p}).\end{equation} 这里 \((\frac{n}{p})\) 是 Legendre symbol. 由于 \((a,b)=1\), 因之 \((p,a)=(p,b)=1\), 于是 \begin{equation}(\frac{a^2}{p})=(\frac{b^2}{p})=1\end{equation} 成为事实, …
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