Author: zyymat

The derivative \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio. Leibniz 引进了符号 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 人们认为它是商: \(x\) 的改变导致的 \(y\) 的无穷小改变与 \(x\) 的无穷小改变的商. 但实际上, \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 仅仅是一个符号, 用来表示导数, 其定义是一个极限. 我们不能把 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 解释为”比”. 诚然, Leibniz 的符号非常有启发性, 也很有用. 比如, 反函数定理是这么说的: \[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}.\] 这非常自然, 如若把导数理解为分数. 再如, …

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2014 年第 2 期的 “The American Mathematical Monthly” 文章较多, 一共有 17 篇, 其中至少 5 篇是对旧定理–诸如 Stirling’s Formula, 余弦定理, Clairaut’s Theorem(Symmetry of second derivatives 二阶导数的对称性)这样的经典结论–的新证明. Symmetry of second derivatives If \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are …

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