先看一个随便打开一本初步的群论书籍都很可能见到的习题, 例如 Serge Lang 的 “Algebra(Revised third edition)” 的 \(75\) 页:
Let \(H,K\) be finite subgroups of a group \(G\). Show that
\[|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.\]
常见的至少两种做法, 这里就不重复了. 现在我们尝试使用 group action 这个武器来进攻.
考察映射
\[\pi\colon (H\times K)\times HK\to HK\]
\[((h,k),x)\mapsto hxk^{-1}.\]
容易验证, 这确是群 \(H\times K\) 在集合 \(HK\) 上的一个作用.
注意, \(e\in HK\), 以及 \(\pi((h,k^{-1}),e)=hk\), 因之 \(Orb(e)=HK\). 此外, \(\pi((h,k),e)=e\) 意味着 \(hk^{-1}=e\). 于是, \(Stab(e)=\{(h,h)\mid h\in H \cap K \}\), 进而 \(|Stab(e)|=|H\cap K|\).
然后, 由 the Orbit-Stabilizer theorem 就得到了想要的结果. \(\Box\)
换个做法也可以.
考虑群 \(H\) 在齐性空间 \((G/K)_l\)(群 \(G\) 中, 子群 \(K\) 的所有左陪集组成的集合) 上的左平移
\[H\times (G/K)_l\to (G/K)_l\]
\[(h,xK)\mapsto hxK.\]
注意 \(Orb(K)=\{hK\mid h\in H\}\). 当然 \(\cup \{hK\mid h\in H\}=HK\). 此外, \(|hK|=|K|\), 结合 \(hK\ne h^\prime K\) 时, \(hK \cap h^\prime K=\emptyset\), 给出
\[|Orb(K)|=\frac{|HK|}{|K|}.\]
此外, \(Stab(K)=\{h\in H\mid hK=K\}\). 明显的是, \(hK=K\) 当且仅当 \(h\in K\), 于是 \(Stab(K)=H\cap K\).
综合起来, the Orbit-Stabilizer theorem 给出
\[\frac{|HK|}{|K|}=\frac{|H|}{|H\cap K|},\]
这就是我们梦寐以求. \(\Box\)
