college mathematics competition

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题 2013 年3 月16 日 电子科技大学(成都) 1.(15分) 设 \(A\) 为正常数, 直线 \(L\) 与双曲线 \(x^2-y^2=2(x>0)\) 所围成的面积为 \(A\). 证明: (i) 上述 \(L\) 被双曲线  \(x^2-y^2=2(x>0)\) 所截线段的中点的轨迹为双曲线; (ii) \(L\) 总是 (i) 中轨迹曲线的切线. 2.(15分) 设函数 \(f(x)\) 满足条件: (1) \(-\infty<a \leqslant …

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A1.  Let \(d_1,d_2,\dotsc,d_{12}\) be real numbers in the open interval \((1,12)\). Show that there exist distinct indices \(i,j,k\)  such that \(d_i,d_j,d_k\) are the side lengths of an acute triangle. A2.  Let \(*\) be a commutative and …

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本届比赛预赛已经在 2012 年 10 月 27 日(星期六)上午 9:00-11:30 举行, 决赛将于 2013 年 3 月的第三周周六上午在电子科技大学(成都)举办. 2012年全国大学生数学竞赛数学类 1. (15 分) 设 \(\Gamma\) 为椭圆抛物面 \(z=3x^2+4y^2+1\). 从原点作 \(\Gamma\) 的切锥面, 求切锥面方程. 2. (15 分) 设 \(\Gamma\) …

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Day \(1\) Problem 1. 解答 1   采用母函数. 记 \(q(n)\) 代表把 \(n\) 分为一些大于 \(1\) 的整数和之分拆数\((q(0)=1),\) 考察 \[F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n,\quad G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}q(n)x^n.\] 显然 \(q(n)\leqslant p(n)<2^n,\) 于是, \(|x|<\frac12\) 时, 两级数收敛. 注意到 \[F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n=\prod_{i=1}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+\dotsb)=\prod_{i=1}^{\infty}\frac1{1-x^i}\] 以及 \[G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}q(n)x^n=\prod_{i=2}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+\dotsb)=\prod_{i=2}^{\infty}\frac1{1-x^i},\] 于是 …

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Day \(1\)  July 28, 2012 Problem 1.  For every positive integer \(n\), let \(p(n)\) denote the number of ways to express \(n\) as a sum of positive integers. For instance, …

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