Chinese number theory books
数学一入深似海, 从此红尘是路人 华罗庚 数论导引 堆垒素数论 指数和的估计及其在数论中的应用 闵嗣鹤 数论的方法 潘承洞 潘承彪 哥德巴赫猜想 模形式导引 解析数论基础 代数数论 素数定理的初等证明 初等数论 第三版 陆洪文 二次数域的高斯猜想 模形式讲义 黎景辉 赵春来 蓝以中 模曲线导引 第二版 黎景辉 赵春来 二阶矩阵群的表示与自守形式 黎景辉 蓝以中 …
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Number theory
Number theory problems from Xiaosheng Mou
很偶然的, 看到了几个韩京俊传出来的数论问题. 据说问题来自牟晓生. 设 \(p\) 为大于 \(3\) 的素数, 证明 \(\dfrac{p^p-1}{p-1}\) 和 \(\dfrac{p^p+1}{p+1}\) 不能都是素数幂; 设 \(n\gt5\), 证明 \(n!\) 不能整除它的正约数之和; 设 \(A\), \(B\) 划分正整数集, 如果\(A+A\) 和 \(B+B\) 都只含有有限个素数, 证明\(A\) 或 \(B\) 是全体奇数的集合; …
Number theory problems from Xiaosheng Mou Read MoreThe homogeneous polynomials whose set of values is closed under multiplication
因 \[(x^2+xy+y^2)(z^2+zw+w^2)=(xz-yw)^2+(xz-yw)[wx+y(z+w)]+[wx+y(z+w)]^2\] 因此, 形如 \(x^2+xy+y^2\) 的数相乘, 所得的积仍为同样的形式. 这恒等式是如何想出来的? 秘密在于行列式, 把 \(x^2+xy+y^2\) 看成行列式 \begin{vmatrix} x& y\cr -y & x+y \end{vmatrix} Let \(f(x_1,x_2,\dotsc,x_n)\) be a homogeneous polynomial. Let \[S=\{f(a_1,a_2,\dotsc,a_n)\mid a_1,a_2,\dotsc,a_n \in\Bbb Z\}.\] …
The homogeneous polynomials whose set of values is closed under multiplication Read MoreThe indeterminate equation \(x^2+y^2=nz^2\)
Richard Taylor(就是协助 Andrew Wiles 完成了Fermat’s Last Theorem 的证明的那位) 写了一篇很有趣的文章 Modular Arithmetic: Driven by Inherent Beauty and Human Curiosity(The Institute Letter, 2012, Summer, 6-8). 这文章指出: Euclid 在他的几何原本 已经得到方程 \begin{equation}x^2+y^2=z^2\end{equation} 的全部整数解. Taylor 进一步指出, 只要 \begin{equation}x^2+y^2=2z^2\end{equation} 有一个非零整数解, …
The indeterminate equation \(x^2+y^2=nz^2\) Read MoreThe primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions
不存在无穷质数等差数列. 下面是几种证明: 设等差数列的首项为 \(a\), 公差为 \(d\). 证明 1 分两种情况: a=1. 此时 \(1+(d+2)d=(d+1)^2\) 是合数; \(a\geqslant2\). 此时 \(a+ad=a(d+1)\) 是合数. 证明 2 连续合数可以任意长, 这是熟知的. 不曾想, 一个副产品居然就是我们的目标. \((m+1)!+2,(m+1)!+3,\dotsc,(m+1)!+m+1\) 是 \(m\) 个连续合数. 证明 3 稍强一点的结果 …
The primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions Read MoreZun Shan’s book “Fun Number Theory”
单墫的数论书 “趣味数论” 是一本不错的数论入门书. 这是我看过的第一本完全的数论书籍. 阅读本书不需要多少准备知识, 初中毕业生基本没有什么困难. 当然, 一个爱思考的大脑, 对数学的热爱, 一支铅笔一张纸肯定是不能缺少的! 对数学竞赛来说, 需要的数论知识点, 这书都有, 除了不是必须的二次剩余. 这书有不少堆垒数论的问题. 除此之外, 第七章是丢番图逼近的简单介绍, 第九章, 第十章可以看作解析数论, 代数数论的最简单入门. 这些数论分支, 继续深入, 都有很多好的文献. 单墫的的书, 有一些共同的特征: 问题多, 定理少! 这在本书也得到完整的体现. 本书最早由中国青年出版社出版, 是绿色封皮. 最新的第二版, …
Zun Shan’s book “Fun Number Theory” Read MoreFundamental theorem of arithmetic
Number theory will be understood, not as a collection of tricks and isolated results, but as a coherent and interconnected theory. 算术基本定理最早的准确表述与证明, 应该是出自 Gauss 的名著算术研究. 但是, 在这之前很久, 人们似乎就已经知道这个定理的具体内容, 并且已经广泛使用. 很明显, …
Fundamental theorem of arithmetic Read MoreChinese Remainder theorem and the Quadratic Reciprocity Law
间接或者直接使用中国剩余定理(the Chinese remainder theorem)可以证明二次互反律. 间接使用, 意思是互反律的证明使用了某个定理, 但是这个定理的关键却在 CRT; 直接使用容易理解. Sey Y.Kim 在 The American Mathematical Monthly, Vol.111, Jan., \(2004\),\(48\)-\(50\) 有一个比较简洁的初等证明, 使用了 Euler的判别条件(Euler’s criterion)和由中国剩余定理导出的同余方程的一个结论, 可算间接证明的代表; 而 G.Rousseau, Tim Kunisty, Klaus Hoechsmann 的证明, 都是直接使用了 …
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