USAMO 2013 solutions
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IMO 2013 solutions
IMO 2013 解答 Problem 1 (Japan) 证明 1 注意到 \begin{equation}\left(1+\frac1{2a}\right)\left(1+\frac1{2a+1}\right)=1+\frac1a,\end{equation} 于是, 我们可以对形如 \begin{equation}\left(1+\dfrac1b\right)\left(1+\dfrac1{b+1}\right)\dotsm\left(1+\dfrac1{b+2^t-2}\right)\end{equation} 的乘积进行操作: 首先把因式按照如下规则配对: 若 \(b\) 是奇数, \(1+\dfrac1b\) 不动, 把 \(1+\dfrac1{b+1}\) 与 \(1+\dfrac1{b+2}\) 配对, \(\dotsc\), \(1+\dfrac1{b+2^t-3}\) 与 \(1+\dfrac1{b+2^t-2}\) 配对; …
IMO 2013 solutions Read MoreIMO 2013 Colombia
Day \(1\) Tuesday, July 23, 2013 Problem 1. Prove that for …
IMO 2013 Colombia Read MoreThe primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions
不存在无穷质数等差数列. 下面是几种证明: 设等差数列的首项为 \(a\), 公差为 \(d\). 证明 1 分两种情况: a=1. 此时 \(1+(d+2)d=(d+1)^2\) 是合数; \(a\geqslant2\). 此时 \(a+ad=a(d+1)\) 是合数. 证明 2 连续合数可以任意长, 这是熟知的. 不曾想, 一个副产品居然就是我们的目标. \((m+1)!+2,(m+1)!+3,\dotsc,(m+1)!+m+1\) 是 \(m\) 个连续合数. 证明 3 稍强一点的结果 …
The primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions Read MoreVan Aubel’s theorem
在平面几何中, 至少有两个 Van Aubel 定理. 第一个, 关于三角形的; 另一个, 是关于四边形的. 定理 1 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点, \(PA,PB,PC\) 分别交对边于 \(D,E,F\), 则 \[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{FA}{FB}.\] 这个有些时候, 也被称为 Van Obel 定理的结论据说比较给力, 可以用来解决很多问题. 至于证明, 使用面积是最简单的. 记 \(S_a=S_{\triangle PBC}, S_b=S_{\triangle …
Van Aubel’s theorem Read MoreZun Shan’s book “Fun Number Theory”
单墫的数论书 “趣味数论” 是一本不错的数论入门书. 这是我看过的第一本完全的数论书籍. 阅读本书不需要多少准备知识, 初中毕业生基本没有什么困难. 当然, 一个爱思考的大脑, 对数学的热爱, 一支铅笔一张纸肯定是不能缺少的! 对数学竞赛来说, 需要的数论知识点, 这书都有, 除了不是必须的二次剩余. 这书有不少堆垒数论的问题. 除此之外, 第七章是丢番图逼近的简单介绍, 第九章, 第十章可以看作解析数论, 代数数论的最简单入门. 这些数论分支, 继续深入, 都有很多好的文献. 单墫的的书, 有一些共同的特征: 问题多, 定理少! 这在本书也得到完整的体现. 本书最早由中国青年出版社出版, 是绿色封皮. 最新的第二版, …
Zun Shan’s book “Fun Number Theory” Read MoreChina IMO 2013 team selection test 3
这就是常说的大考了, 占所有考试一半的比重. 第一天 2013年3月24日上午 8:00-12:30 1. 给定整数 \(n\geqslant2\), 对任意互素的正整数 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\), 记 \(A=a_1+a_2+\dotsb+a_n\), 对 \(i=1,2,\dotsc,n\), 设 \(A\) 与 \(a_i\) 的最大公约数为 \(d_i\); \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 中删去 \(a_i\) 后余下的 \(n-1\) 个数的最大公约数为 \(D_i\). 求 \(\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{A-a_i}{d_iD_i}\) 的最小值. 2. …
China IMO 2013 team selection test 3 Read MoreChina IMO 2013 team selection test 2
第一天 2013年3月18日上午 8:00-12:30 1. 对整数 \(k\geqslant2\), 设 \(T_k=\{(x,y)|x,y=0,1,\dotsc,k-1\}\) 为直角坐标平面内的 \(k^2\)个点组成的集合, 将 \(T_k\) 中的点对之间的所有不同距离从大到小记为 \[d_1(k)>d_2(k)>\dotsb.\] 令 \(S_i(k)\) 为 \(T_k\) 中距离等于 \(d_i(k)\) 的无序点对的个数. 证明: 若正整数 \(m>n>i\), 则 \(S_i(m)=S_i(n)\). 2. 证明: 存在正常数 \(K\) 及严格递增的无穷正整数数列 \(\{a_n\}\), 使得对任意正整数 \(n\), 均有 \(a_n<K\cdot (1.01)^n\), 且数列 \(\{a_n\}\) 中的任意有限多个不同项之和不是完全平方数. 3. …
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