2013 China Girls’ Mathematical Olympiad Solutions
2013 中国女子数学奥林匹克解答: 2013 China Girls’ Mathematical Olympiad Solutions 应该是官方标准答案. 试题, 这个文件有. 本站 8 月 13 日发过题目. 网上还有一些别的解法, 特别是两个几何的证明不少.
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Step to IMO 2013
走向 IMO 数学奥林匹克试题集锦(2013)已经由华东师范大学出版社推出. 本书收集了 2012 年至 2013 年度国内数学奥林匹克的试题, 并对试题作详细解答. 试题包括: 全国高中数学联赛, 全国中学生数学冬令营, 国家队集训资料, 国家队选拔考, 女子奥林匹克, 西部奥林匹克, 东南地区数学奥林匹克, 俄罗斯数学奥林匹克, 美国数学奥林匹克以及国际数学奥林匹克. 这书对 2013 IMO 的题 6, 给出了两种不一般的解法. 建议认真的看一看. 书名: 走向 IMO 数学奥林匹克试题集锦(2013) ISBN: 9787567511842 出版社: 华东师范大学出版社 …
Step to IMO 2013 Read MoreThe homogeneous polynomials whose set of values is closed under multiplication
因 \[(x^2+xy+y^2)(z^2+zw+w^2)=(xz-yw)^2+(xz-yw)[wx+y(z+w)]+[wx+y(z+w)]^2\] 因此, 形如 \(x^2+xy+y^2\) 的数相乘, 所得的积仍为同样的形式. 这恒等式是如何想出来的? 秘密在于行列式, 把 \(x^2+xy+y^2\) 看成行列式 \begin{vmatrix} x& y\cr -y & x+y \end{vmatrix} Let \(f(x_1,x_2,\dotsc,x_n)\) be a homogeneous polynomial. Let \[S=\{f(a_1,a_2,\dotsc,a_n)\mid a_1,a_2,\dotsc,a_n \in\Bbb Z\}.\] …
The homogeneous polynomials whose set of values is closed under multiplication Read MoreChicken claws theorem
鸡爪定理及其逆定理 鸡爪定理其实是较为常见的. Euler 的 \(OI^2=R^2-2Rr\) 的最流行的证明, 就是先把鸡爪定理证一通. 这也算是鸡爪定理最显著的应用. 那么, 到底何谓鸡爪定理? 记 \(I\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心, \(I_a\) 是顶点 \(A\) 所对的旁心, \(AI_a\) 交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(M\), 则 \(MI=MB=MC=MI_a\). 因 \(MI,MB,MC\) 以及 …
Chicken claws theorem Read MoreThe indeterminate equation \(x^2+y^2=nz^2\)
Richard Taylor(就是协助 Andrew Wiles 完成了Fermat’s Last Theorem 的证明的那位) 写了一篇很有趣的文章 Modular Arithmetic: Driven by Inherent Beauty and Human Curiosity(The Institute Letter, 2012, Summer, 6-8). 这文章指出: Euclid 在他的几何原本 已经得到方程 \begin{equation}x^2+y^2=z^2\end{equation} 的全部整数解. Taylor 进一步指出, 只要 \begin{equation}x^2+y^2=2z^2\end{equation} 有一个非零整数解, …
The indeterminate equation \(x^2+y^2=nz^2\) Read More2013 China South East Mathematical Olympiad
第十届东南数学奥林匹克 第一天 (2013 年 7 月 27 日 上午 8:00-12:00) 江西 鹰潭 1. 实数 \(a,b\) 使得方程 \(x^3-ax^2+bx-a=0\) 有三个正实根. 求 \(\dfrac{2a^3-3ab+3a}{b+1}\) 的最小值. 2. …
2013 China South East Mathematical Olympiad Read MoreImprovements of Euler’s inequality
匡继昌的不等式著作”常用不等式(Applied Inequalities)”名头很大. 我拥有的第一本是第二版, 由湖南教育出版社出版, 是 \(32\) 开, 不是后来第三版, 第四版的 \(16\) 开. 第二版的页码好像比第三部, 第四版要少那么一点. 当年我阅读这书, 几何不等式这一章, 有这么一个不等式(也就是第四版 \(244\) 页的 \(76\)), 是 Bandila. V. 在 1985 年提出: \begin{equation}\frac Rr\geqslant\frac bc+\frac cb,\end{equation} 这里 …
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