elementary mathematics
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A one sentence Proof of the Infinitude of Primes
Sam Northshield 用一句话就说明了质数的无穷性. 这个很精彩的证明是这样的: Proof. If the set of primes is finite, then \[0\lt \prod_p \sin\left(\frac \pi p\right)= \prod_p \sin\left(\frac{\pi\Big(1+2\prod\limits_{p’}p’\Big)}p\right)=0. \qquad \Box\] 有更短的数学证明吗?应该没有! 这个证明正确吗?好像不是一目了然啊! …
A one sentence Proof of the Infinitude of Primes Read MoreTriangle Centers and Central Triangles
找一本这个书非常非常的困难. 本站好不容易找到了一本, 封面是这个样子的: “Triangle Centers and Central Triangles” 在近几年欧氏平面几何的研究论文中, 引用频率很高. 这是加拿大 Utilitas Mathematica Publishing Inc 出版社的杂志 “Congressus Numerantium” 1998年的第 129 卷, 讨论了三角形的 400 多个特殊点的性质. 这本书的详细信息, 可以参阅作者 Clark Kimberling 的主页 Triangle Centers and Central Triangles 本书目录如下: …
Triangle Centers and Central Triangles Read More2015 summer math camp for high school students, PKU
第二届“北大中学生数学奖夏令营” 已于 8 月 15 日至 8 月 19 日在北京大学举办. 10 个考试题目不错, 虽然陈题特别多. 主要是为了最后的那个题, 才来写这个解答. 1. 一椭圆和双曲线有公共焦点, 双曲线上一点沿该点切线方向射出一条光线. 求证: 这条光线经椭圆反射后与双曲线相切. 椭圆 \(C_1\) 与双曲线 \(C_2\) 有相同的焦点. 点 \(P\) 在 \(C_2\) 上, 且 \(A\) 在 \(C_1\) …
2015 summer math camp for high school students, PKU Read MoreIMO 2015 solutions III
第一篇文章有 Problem 3 的几个证明. 第三个证明利用了调和四边形的一些很基本的性质. 第五个证明, \(M\) 是三角形 \(HYK\) 的外接圆的切线的交点以及 \(F\) 是 \(HY\) 的中点这两件事导出 \[\angle MKH=\angle YKF.\] 这是需要证明的, 并不容易. 不过, 这个结果已经很流行了. 田廷彦在他的”圆”的第三讲有一个例题对锐角三角形的情形给出了两个证明, 但都不能让人满意, 因为都用到了三角函数. 虽然这些知识不是参加竞赛必须掌握, 但如果参赛者想在考场上取得好的分数, 应该不仅仅是记得一些常用的结论, 还要对证明也很熟练.
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