elementary mathematics
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2016 Chinese Mathematical Olympiad(CMO)
第 32 届中国数学奥林匹克 湖南 长沙 第一天 (2016 年 11 月 24 日 8:00–12:30) 1. 数列 \(\{u_n\}\), \(\{v_n\}\) 满足: \(u_0=u_1=1\), \(u_n=2u_{n-1}-3u_{n-2}(n\geqslant2)\), \(v_0=a\), \(v_1=b\), \(v_2=c\), \(v_n=u_{n-1}-3u_{n-2}+27v_{n-3}(n\geqslant3)\). 已知存在正整数 \(N\), 使得当 \(n\geqslant N\) 时, \(u_n\mid v_n\). …
2016 Chinese Mathematical Olympiad(CMO) Read More\(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals
集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. …
\(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals Read MoreIMO 2016 solutions II
这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成. 以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序, 因此, \begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation} 既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是 …
IMO 2016 solutions II Read MoreIMO 2016 solutions
2016 第 57 届 IMO 解答 Problem 1 (The Kingdom Of Belgium) 注意 \(\triangle FAB\), \(\triangle DAC\), \(\triangle EAD\) 是顶角相等的等腰三角形, 即 \[\angle FBA=\angle FAB=\angle DAC=\angle DCA= \angle EAD=\angle EDA.\] 既然 \(\triangle FAB\sim \triangle …
IMO 2016 solutions Read MoreIMO 2016 Hong Kong
Day \(1\) Monday, July 11, 2016 Problem 1. Triangle \(BCF\) has …
IMO 2016 Hong Kong Read MoreThe Romanian Master of Mathematics Competition 2016
The Romanian Master of Mathematics Competition 2016 day 1 The Romanian Master of Mathematics Competition 2016 day 2 Solutions_RMM2016-1 Solutions_RMM2016-2
The Romanian Master of Mathematics Competition 2016 Read MoreAn Elementary Proof on dense of \(\{n^k\alpha\}\)
\(\alpha\) 是无理数, 则 \(\{n^k\alpha\}\)\((k=1, 2, \dotsc)\) 在区间 \((0, 1)\) 稠密． 这个证明原创应该是 Tao 的, 但 Tao 只证明了一个特殊情况, 并且指出这个手段可以采用来证明更一般的结果(本文结论), 但他没有详细写出. {nkα}An Elementary Proof on dense of
An Elementary Proof on dense of \(\{n^k\alpha\}\) Read More