Power, Simplicity and Beauty
elementary mathematics
2014 第 55 届 IMO 解答 Problem 1 (Austria) 记 \(b_k=\sum\limits_{i=0}^ka_i-ka_k\), \(k=1\), \(2\), \(\dotsc\). 注意 \(\dfrac{a_0+a_1+a_2+\dotsb+a_n}n\gt a_n\) 就是 \(\sum\limits_{i=0}^na_i-na_n\gt0\). 后者显然即 \(b_n\gt0\). 然后, \(\dfrac{a_0+a_1+a_2+\dotsb+a_n}n\leq a_{n+1} \) 的另一面目 \(\sum\limits_{i=0}^{n+1}a_i\leq (n+1)a_{n+1}\) 就是 \(b_{n+1}\leq0\). 从而, 我们只需指出有惟一的正整数 …
IMO 2014 solutions Read MoreDay \(1\) 2014 年 7 月 8 日, 星期二 第 1 题. 设 \( a_0\lt a_1\lt …
IMO 2014 South Africa Read More项武义的”古典几何学”被高等教育出版社收进了”现代数学基础”系列, 成为了第 45 册. 本书采用近代观点系统介绍了古典几何学的基础知识(其中包括欧氏几何, 非欧几何, 解析几何, 球面几何与三角, 射影几何等), 并着重对各种古典几何体系进行比较分析和全局探讨, 突出它们的几何思想和在方法论上的创见. 与此同时, 高等教育出版社还将推出项武义的另一本小册子”圆锥截线的故事-数学与文明的一个重大篇章”. 书不是一般的薄, 是及其罕见的薄, 只有 36 页! 真是名副其实的小册子! 目录 第一章 实验几何学 第一节 点、直线与平面的相互关系 第二节 方向、角度与平行 第三节 恒等、叠合与对称 习题 第二章 推理几何的演进与欧氏体系 第一节 萌芽时期 —— 恒等形的研究与应用 …
Classic geometry by Wu-Yi Hsiang Read More2003 年在 Japan 举行的 IMO 的试题和解答. 根据官方网站的图片合成, 仅仅是保存资料. IMO 2003
IMO 2003 Read More这是 IMO 1996 官方网站的 PDF. 这个网站现在已经不存在. 这里为保存资料 imo96 solutions-imo96
IMO 1996 Read More\(p\) is a odd prime, then there are infinite primes \(q\) such that \(q\) is a quadratic residue modulo \(p\); there are infinite primes \(q\) such that \(q\) is a …
The elementary proof of the fact that there are infinite prime quadratic residues modulo \(p\) Read More2014 年中国国家集训队附加测试 2014 年 3 月 19 日 18:15-21:15 1. 如图, 圆 \(O\) 为 \(\triangle ABC\) 的外接圆, \(D\) 为 \(\widehat{BAC}\) 的中点, \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心, 延长 \(DI\) 分别交 …
2014 China IMO team additional test Read MoreWhich integers can be expressed as \(a^3+b^3+c^3-3abc\)? \(a\), \(b\), \(c\in\Bbb Z\). \[(a\pm1)^3+a^3+a^3-3(a\pm1)a^2=3a\pm1\] \[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3-3a(a+1)(a-1)=9a\] \[2(a^3+b^3+c^3-3abc)=3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^3\] If \(3\mid(a^3+b^3+c^3-3abc)\), then \(3\mid(a+b+c)^3\), \(3\mid(a+b+c)\). so \(9\mid(a^3+b^3+c^3-3abc)\). All \(n\) such that \(3\nmid n\) or \(9\mid n\).
Integers represented by \(a^3+b^3+c^3-3abc\) Read More