Power, Simplicity and Beauty
complex analysis
下面的定义在多值函数中起着重要作用: 定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设 1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上; 2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\); 3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\); 4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化; 5) 沿着曲线 \(\gamma\) …
Complex analysis 2: Variation of argument, fundamental theorem of algebra Read More到底什么是 \(\sqrt{-1}\)? 它存在吗? 要回答这些问题, 我们先要搞清楚: 何谓数学中的”存在”？ 数学中的存在性 我们从非欧几何说起. 非欧几何还会在后面被提及. 欧几里得的”几何原本”出现以后, 第五公设一直被众多数学家广为诟病. 很多人希望用前四条公设证明平行公设, 但不能成功. 这样经过长达 2000 年努力后, 数学家开始尝试另外的道路. 1820年代, 罗巴切夫斯基用一个和平行公理矛盾的命题来代替第五公设, 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统, 展开一系列的推理, 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思, 但在逻辑上不矛盾的命题. 这种几何是为罗巴切夫斯基几何. 从罗巴切夫斯基创立的几何学, 得出一个极为重要的, 具有普遍意义的结论: 逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学. 现在我们可以说: 数学中的存在性, 指的就是逻辑上的无矛盾性. \(\sqrt{-1}\)的合理性 这个问题的答案, 其实就在 Ahlfors 的经典名作 …
Complex analysis 1: What is \(\sqrt{-1}\)? Read More从今天开始, 我们将有一系列的关于复分析(Complex analysis) 的笔记, 首先当然是单复分析. 单复分析是数学系本科生的一门必修的基础课. 复分析在数学的核心地位, 毋庸置疑! 现代数学, 无论多么显著的成就, 都可以在复分析找到其思想的源头. 学复变之前, 最好是懂那么一点抽象代数, 点集拓扑, 哪怕一点点双曲几何. 自学的话, 也许不可得其神韵! 单复分析 = Cauchy- Riemann 方程 Cauchy- Riemann 方程是一个偏微分方程组. Cauchy 标志一个时代的结束, 而 Riemann 则预示新时代的开启! 这句话形象的表达了复分析在数学的地位! 三个大师的复分析 Ahlfors, Complex Analysis Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic …
Complex analysis 0: Books Read MoreLet \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)\) be a power series. The radius of convergence of \(f\) is \(1\), and \(f\) is convergent at every point of the unit circle. If \(f(z)=0\) for every \(|z|=1\), then \[a_n=0\] for all nonnegative …
Cantor’s uniqueness theorem Read More