Feb 282013
到底什么是 \(\sqrt{-1}\)? 它存在吗? 要回答这些问题, 我们先要搞清楚: 何谓数学中的”存在”？
数学中的存在性
我们从非欧几何说起. 非欧几何还会在后面被提及.
欧几里得的”几何原本”出现以后, 第五公设一直被众多数学家广为诟病. 很多人希望用前四条公设证明平行公设, 但不能成功. 这样经过长达 2000 年努力后, 数学家开始尝试另外的道路. 1820年代, 罗巴切夫斯基用一个和平行公理矛盾的命题来代替第五公设, 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统, 展开一系列的推理, 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思, 但在逻辑上不矛盾的命题. 这种几何是为罗巴切夫斯基几何. 从罗巴切夫斯基创立的几何学, 得出一个极为重要的, 具有普遍意义的结论: 逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学.
现在我们可以说: 数学中的存在性, 指的就是逻辑上的无矛盾性.
\(\sqrt{-1}\)的合理性
这个问题的答案, 其实就在 Ahlfors 的经典名作 “Complex analysis” 的开篇 1.3.
简单点说, 就是有一个域, \(\Bbb R\) 是其子域(或者有子域与 \(\Bbb R\) 同构), 在这个域里有一个元素 \(x\), 满足 \(x^2+1=0\).
然后, Ahlfors 用例子说明了如何构造这样的一个域.
Frobenius 有个著名的定理是这么说的: 实数域上的有限维可除代数只有 \(\Bbb R\), \(\Bbb C\), 和 \(\Bbb H\).
至于证明, 可以参考, 比如, Jacobson 的 Basic Algebra I 的第七章.