Power, Simplicity and Beauty
teaching
群通常是这么定义的: 如果在一个非空集合 \(G\) 上的一个二元运算(群运算), 记作 \(ab\), 满足下面的三个条件: 结合律: 对于 \(G\) 中任意元素 \(a\), \(b\), \(c\), 有 \((ab)c=a(bc)\); 存在(左)单位元: \(G\) 中有一个 \(e\), 使得对于 \(G\) 中任意元素 \(a\), 有 \(ea=a\); 存在(左)逆元: 对 \(G\) 中任意元素 \(a\), …
Abstract algebra 3: Definition of group Read More本科的代数对半群(Semigroup)至多只是介绍了这个概念, 没有更多深入. 其实, 半群还是蛮重要的, 在偏微分方程组(Partial differential equation)有许多应用.
Abstract algebra 2: Introduction to Semigroup Read More本文作者 xida Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？ 理由有两个。第一个原因是我曾经在给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发学生为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。 第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我们从中学就知道整数环和多项式环有唯一因子分解定理：每个整数可以唯一地分解为素数的乘积，每个（域上的）多项式可以唯一地分解为不可约多项式的乘积。在数学里面有很多这样的唯一分解定理，而我们现在想知道：有没有所谓的 “线性变换的唯一分解定理” 呢？可以猜测如果有这样的定理存在，那么大概可以表述为如下的样子： 线性变换的唯一分解定理（粗糙的版本）：设 \(V\) 是域 \(F\) 上的有限维向量空间，\(A\) 是 \(V\) 上的线性变换，则 \(A\) 可以唯一地分解为若干个 “简单的” 线性变换的组合，而且这些 “简单的” 线性变换本身不能再分解。 这个表述很不清楚，整数和多项式的分解就是表示为因子的乘积，那么什么是线性变换的分解呢？什么又是不可分解的线性变换呢？正确的概念是直和： 设 …
Jordan normal form I Read More双曲几何的故事, 我们从 Poincaré 的单位圆盘模型 (Poincaré disk model) 开始. 首先, 是, 经典的平面上的单位圆. 平面几何的准备 两圆正交 记 \(A\) 是 \(\odot O_1\) 与 \(\odot O_2\) 的一个交点, 过 \(A\) 分别作两圆的切线, 如果两切线垂直, 即 \(AO_1\perp AO_2\), 则称这两圆为正交圆, 或称这两个圆正交. 一条直线如果经过一个圆的圆心, …
Hyperbolic Geometry 1: Poincaré disk model Read More双曲几何 (Hyperbolic Geometry) 的参考书, 有些实际是椭圆几何(Riemannian geometry)的书. 中文 中文书极少. 李忠和周建莹的”双曲几何”可能是中文里惟一的一本完全围绕双曲几何展开论述的书, 而且不系统, 内容很少, 程度只到一点点复分析. 李忠, 周建莹, 双曲几何, 湖南教育出版社, 1991, 12 项武义, 基础几何学, 人民教育出版社, 2004, 9 项武义, 王申怀, 潘养廉, 古典几何学, 高等教育出版社, 2014, 5 球面上的几何, 人民教育出版社, …
Hyperbolic Geometry 0: Books Read More熟知方阵的迹(Trace)有如下三条性质: \(\operatorname{Tr}(A+B)=\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B)\); \(\operatorname{Tr}(kA)=k\operatorname{Tr}(A)\); \(\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)\). 前两条性质说明, \(\operatorname{Tr}(A)\) 是线性空间 \(M_n(K)\) 内的一个线性函数. 第三条性质比较独特. 事实上, 对于线性空间 \(M_n(K)\) 内的线性函数, 第三条性质为”迹” 所独有! 换句话说, 我们可以用下面的方式来定义方阵的迹: 设 \(f\) 是数域 \(K\) 上的线性空间 \(M_n(K)\) 内的一个线性函数, 如果满足如下条件: \[f(AB)=f(BA), \forall A, …
Definition of the trace of a Matrix Read MoreAnother name for general topology is point-set topology. 一般拓扑学又称为点集拓扑学. 1. John B. Conway, A Course in Point Set Topology, Springer, 2014
General topology 0: Books Read MoreThe derivative \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio. Leibniz 引进了符号 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 人们认为它是商: \(x\) 的改变导致的 \(y\) 的无穷小改变与 \(x\) 的无穷小改变的商. 但实际上, \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 仅仅是一个符号, 用来表示导数, 其定义是一个极限. 我们不能把 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 解释为”比”. 诚然, Leibniz 的符号非常有启发性, 也很有用. 比如, 反函数定理是这么说的: \[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}.\] 这非常自然, 如若把导数理解为分数. 再如, …
\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio Read More