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2014 年第 2 期的 “The American Mathematical Monthly” 文章较多, 一共有 17 篇, 其中至少 5 篇是对旧定理–诸如 Stirling’s Formula, 余弦定理, Clairaut’s Theorem(Symmetry of second derivatives 二阶导数的对称性)这样的经典结论–的新证明. Symmetry of second derivatives If \(f_{xy}\) and \(f_{yx}\) are …

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若正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 证明: 级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\) 也收敛. 这是[1]下册 16 页例题 13.2.6. 这书很赞的, 非常给力! 我们先来简单的复述下这书给出的证明的要点: 说穿了, 这个证明的目的, 就是建立 \begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\leqslant4\sum_{n=1}^\infty a_n.\end{equation} 为此, 我们可以认为正数数列 \(\{a_n\}\) 单调递减. 这是因为 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\), …

Hardy’s inequality \(p=-1\) Read More