Dec 162013
 

若正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 证明: 级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\) 也收敛.

这是[1]下册 16 页例题 13.2.6. 这书很赞的, 非常给力!

我们先来简单的复述下这书给出的证明的要点:

说穿了, 这个证明的目的, 就是建立

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\leqslant4\sum_{n=1}^\infty a_n.\end{equation}

为此, 我们可以认为正数数列 \(\{a_n\}\) 单调递减. 这是因为 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\), 因之可把数列 \(\{a_n\}\) 按照从大到小重排. 此时 \(\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}\) 不能增加, 进而 \((1)\) 左边的 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\) 不会减少.

其次, 注意到下面这个简单的事实

\[\sum_{k=1}^{2n}\frac1{a_k}\gt \sum_{k=1}^{2n-1}\frac1{a_k}\geqslant\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{a_k}\geqslant\frac n{a_n}\]

可导出

\[\frac{2n-1}{\sum\limits_{k=1}^{2n-1} \frac1{a_k}}+\frac{2n}{\sum\limits_{k=1}^{2n} \frac1{a_k}}\leqslant\frac{2n-1}{\frac n{a_n}}+\frac{2n}{\frac n{a_n}}\lt4a_n,\]

于是, \((1)\) 也就是顺理成章的事情了.

有趣的事情, 总是发生在下回分解: [1] 给出了这个证明, 接下来的一个注释引出了我们的故事. 这个注是这样的:

我们不知道不等式 \((1)\) 右边的系数 \(4\) 是否可以减少, 若可以的话, 其最优值又是多少(参见下一个例题).

这是这套书上下两册最没有经过大脑的一段话, 显然没有经过思考: 下一个例题是 Carleman’s inequality. 这著名的不等式很清楚的表明: 把不等式 \((1)\) 右边的系数 \(4\) 改为 \(\mathrm e\) 也是可以的. 问题是, 使得

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\leqslant k\sum_{n=1}^\infty a_n\end{equation}

成立的最小的实数 \(k\) 应该是 \(\mathrm e\) 吗?

Hardy’s inequality 在 \(p\leqslant1\) 时, 一般是不成立的. 但是, 若 \(p=-1\), 则

\[\left(\frac p{p-1}\right)^p=2.\]

这使得我们可以猜测: 使得 \((2)\) 成立的最小的实数 \(k\) 可能是 \(2\). 此外, 对于正可测函数 \(f(x)\), 有

\begin{equation}\int_0^\infty \frac x{\int_0^x\frac1{f(t)}\,dt}\,dx\leqslant 2\int_0^\infty f(x)\,dx.\end{equation}

因之可以确信: 我们寻找的最小实数就是 \(2\)! 换句话说, 成立

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\leqslant2\sum_{n=1}^\infty a_n,\end{equation}

并且右边的系数 \(2\) 不可改进.

References

  1. 谢惠民, 恽自求, 易法槐, 钱定边, 数学分析习题课讲义, 高等教育出版社, 2004
  2. 匡继昌, 常用不等式(第四版), 山东科学技术出版社, 2010
 Posted by at 7:56 am
Nov 112013
 

最近好像事情不少, 没有能力来写啥深入的长篇大论.

微分几何最适合的入门书, 首推 Andrew Pressley 的 “Elementary Differential Geometry“!  2010年出版第二版, 不过笔误之类的小错误不少. 2012 年重印版本, 修正了很多.

这书的风格类似 David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 很多别的教科书忽略的细节, 这书都解释的很清晰. 不胜枚举的例子, 可以用来说明这一点. 诸如, 曲线的可允许参数变换, 自交点, 闭曲线都给出了严格定义, 反函数定理有专门一节的详细讨论.

本书还有一个特点是, 习题既有提示, 也有完整的解答, 分开的. 做出不来, 看提示; 还做不出就参考解答. 似乎, 还没有多少书是这样的.

就内容来说, 本书也非常丰富, 已经超出一般的入门教材. 最后三章分别论述 Hyperbolic geometry, Minimal surfaces, The Gauss-Bonnet theorem.

遗憾的是, 本书的观点是传统的.

其次, 是 Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces.

这个是经典, 不用多说, 上面 Andrew Pressley 的那本也被 Manfredo P. do Carmo 巨大的影响着. 阅读 Andrew Pressley 可以看的很清楚!

再来是, J. A. Thorpe, Elementary topics in Differential Geometry

4.  Wilhelm Klingenberg, A Course in  Differential Geometry, GTM51

5.  Wolfgang Kühnel, Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds, Second Edition

Oct 042013
 

Cantor-Bernstein theorem(CBT) 是集合论的一个定理. 但多数人第一次接触它, 很可能不是在学习集合论的时候, 而是在初次接触实变函数.

可以肯定的是, 很多实变函数教材的开篇, 会专门的列出这个定理, 并且写出证明. 当然, 也不是每一本关于测度论和 Lebesgue 积分的书都会花笔墨来这样做, 例如, 备受好评的 Stein 的[2], Folland 的[3], 都没有提到这个定理. 这是一个有趣的问题, 以后再来讨论.

没有多少书, 会使用诸如 “…定理的证明” 这样的名称; 也没有多少定理, 会专门用一本书来收集其证明. [1]–讨论素数定理的某一类证明–和 [6]–写出了代数基本定理的几个证明–是两个例子. 很荣幸, 几个月前出版的[4], 有 429 页, 就是这样一本书. 如此, 该书的主角–Cantor-Bernstein theorem–很荣耀的加入了这样的定理的行列.

[4] 收集了如此多大人物给出的 CBT 的精彩证明, 但这本书显然不好读.

CBT 最简单的证明, 大概是使用图论的手段. 使用一点匹配理论, 可以很简单的说明 CBT 的正确. 有兴趣的读者, 可以翻阅图论经典[5], 命题 8.4.6.

There is no constructive proof of CBT

CBT 的众多证明, 没有一个是构造性的! 实际上, 不存在 CBT 的构造性的证明.

References

  1. 潘承洞, 潘承彪, 素数定理的初等证明, 上海科学技术出版社
  2. Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis
  3. Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition
  4. Arie Hinkis, Proofs of the Cantor-Bernstein theorem–A Mathematical Excursion, 2013
  5. Reinhard Diestel,Graph Theory(GTM 173), 4th ed
  6. Benjamin Fine&Gerhard Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra
 Posted by at 8:14 am
Oct 032013
 

实变函数是必修的基础课, 重要性不言而喻. 搞概率的老师考学生, 最想出的问题应该是实变.

Thomas Hawkins 有一本 “Lebesgue’s Theory of Integration: Its Origins and Development“, 很值得一看.

可以推荐的书籍, 中文的, 下面六本可为代表:

1. 陈建功, 实函数论, 科学出版社

2. 周民强, 实变函数论, 北大出版社

这是北大使用的教材. 最新的版本是 2008 年的, 肯定不是第二版, 可以找到的不同版本就有至少三种. 周民强的书, 有一些共同的特点: 无伤大雅的小错误不少, 习题很多很难.

3. 徐森林, 薛春华, 实变函数论, 清华大学出版社

4. 周性伟, 实变函数, 科学出版社, 第二版

5. 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌, 实变函数论与泛函分析:上册•第二版修订本, 高等教育出版社

6. 程民德, 邓东皋, 龙瑞麟, 实分析, 高等教育出版社

下面是英文的推荐读物:

7. Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis

8. Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition

 Posted by at 7:36 am
Sep 232013
 

密率法(density)是数论常用的方法之一. 这个方法有一个独有的优点: 可以得出很多关于每一个自然数都成立的精彩结论. 这一点令筛法或圆法望尘莫及: 筛法或圆法得到的结果只对充分大的自然数成立.

密率这个概念是Lev Schnirelmann 在两篇分别发表于 1930 年, 1933 年的论文提出的. 很多的数论书, 都有专门的章节论述密率, 比如, [1]的第十九章, [2]的第一章和第五章, [3]的第一章, [4]的第十一章, 等等. 还有的书, 把密率法作为专门的方法加以介绍, 比如, [5]的第十一章, [6]的第二节, 等等.

密率在数论的许多非常惊世骇俗的进展, 诸如哥德巴赫猜想, 华林问题, Szemerédi’s theorem, Green-Tao 定理, 等等, 扮演了重要角色.

Schnirelmann 小传

Schnirelmann 1905 年 1 月 2 日出生在 Gomel, 这个小镇现在属 Belorussia. 他的父亲是一个俄文老师. Schnirelmann 在 Gomel 生活了十六年.

早在童年时期, Schnirelmann 就已经在许多领域展现了他的天才. 在 8-12 岁的时候, 他热衷于绘画, 作诗. 他写的诗, 用与其年龄不相称的方式来解释亲身经历过的事件.

Schnirelmann 对数学表现出热情的时候, 只有 12 岁, 当时他依靠自己完成了一门初等数学课程. 就在这一时期, 他开始学习深一些的数学文献. Schnirelmann 花了好几个月参加 Gomel 当地为高中毕业生开设的一些数学和物理课程. 就在这里, Schnirelmann 的天才引起了 L.I. Kreer 的注意, 后者当时是 North-Caucasian Pedagogical 学院的教授. 因为 L.I. Kreer 的举荐, 当地的教育部门 1919 年 4 月给 Schnirelmann 的父母写了一封信, 出于对孩子将来的教育负责, 提出把 Schnirelmann 送到莫斯科两年. 在 Schnirelmann 15 岁的时候, 已经在自修数学.

1921 年, Schnirelmann 16岁, 入读莫斯科大学. 两年半后, Schnirelmann 就毕业了. 在这期间,  Schnirelmann 学习了 Lusin 的实变函数, Urysohn 的点集拓扑, Khinchine 的 Diophantine 逼近.

1924 年秋天, Schnirelmann 在莫斯科大学的数学和力学的研究所, 是这机构的候选成员. 在 Schnirelmann 还是学生, 以及在研究所的这段时间, Schnirelmann 在代数, 几何, 拓扑领域已经完成了好几篇论文. 在这些论文中, 有一篇 “On multiplicative forms”, 构成他毕业论文的基础. 在他学术生涯的早期, Schnirelmann 就对自己高标准, 严要求. 他不发表不成熟的文章, 哪怕已经得到了不错的结果.

1925 年, Schnirelmann 在莫斯科大学得数学博士, 导师是 Nikolai Nikolayevich Luzin.

Schnirelmann 第一次正式发表论文是在1929 年. 这篇 1926-1927年间写成的文章, 是内接正方形问题取得的一个突破. 几何中有一个所谓的内接正方形问题(Inscribed square problem), 今天还是未决 open problem. 这问题是这样的: 是否每个 Jordan curve 都有内接正方形? 也就是说, 是否总能在一个简单闭曲线上找出构成正方形的四个点?Schnirelmann证明了, 对于曲率有界的简单闭曲线, 答案是肯定的.

1927-1929年间, Schnirelmann 和 L. A. Liusterik 合作, 发了一系列的论文研究变分学中的拓扑方法. 就是这些文章, 完整解决了 Poincare 的一个关于闭曲面上必有三条闭测地线–而且不会超过三条–的猜想.

1929 年, Schnirelmann 完成了在研究所的事情, 并且写了关于分析中的定性方法的文章. 就是这一年, Schnirelmann 成了座落在小镇 Novocherkask 的Donsk Polytechnic 学院的数学系主任. 就在这个学院, Schnirelmann 开始学习数论, 并且得到了几个重要的结果. 这些结果中的一个, 就是在哥德巴赫猜想上取得的突破. 当时, 数学家相信使用已有方法是不可能突破哥德巴赫猜想的. Schnirelmann 为序列的算术这个新的领域打下基础, 证明了几个重要定理. Schnirelmann 的论文发表在学院的刊物上–这个杂志可不是什么有名的刊物. 然而, 这些论文引起了专家们的注意. 不久, 数论专家 Landau 写了一篇文章介绍 Schnirelmann 的工作.

1930年的夏天, Schnirelmann 出席了全苏联的第一届数学大会. 在这次大会上, 只有 25 岁的 Schnirelmann, 已经是苏联数学界的领袖人物之一. 大会结束后, Schnirelmann 返回了莫斯科. 翌年, 他成为莫斯科大学数学与力学研究所是永久成员. 他也在莫斯科大学讲授几个科目, 组织一些讨论班.

1931 年, Schnirelmann 被派往国外三个月. 这期间, Schnirelmann 继续考虑加性数论的问题, 准备纪念的讨论班, 后来发表在数学年刊. 根据 Khinchin(辛钦) 在 [6] 的说法, Schnirelmann 去的是当时世界数学的朝圣地–哥廷根! 在那里, Schnirelmann 见到了 Landau, 两人提出了一个猜想 \(d(A+B)\geqslant\min\{d(A)+d(B),1\}\). 当年秋天, Schnirelmann 返回莫斯科.

1933年, Schnirelmann 被派到科学院, 任职一个同等的职位. 然后, 从 1934年开始工作在科学院的数学机构. 他的数学工作涉及数论, 代数, 分析中的许多的问题.

包括社会活动在内, Schnirelmann 是一个有着广泛兴趣的人. Schnirelmann 曾经花费很多心力提高国家的数学教育. 他参与有关的公开讨论, 在包括真理报在内的许多出版物上表达看法. 他给了一系列的演讲, 评论数学文献, 讨论新课程的设置, 为初等教育的老师讲述数论, 给年轻人做普及讲座. 他的看法在数学教育发挥了重要的作用. 他担任莫斯科数学会的领导多年, 还一度担任副会长.

庆祝十月革命二十周年的时候, Schnirelmann 和其他几个年轻的学者, 被科学院授予一个奖项. 在他生命的最后一年, Schnirelmann 高强度的投入研究工作, 获得了一系列的新结果. 有些结果仅仅是他去世前不久才寄给刊物.

Schnirelmann 指导过一个学生, 1936 年在莫斯科大学得到博士的 Nikolai Pavlovich Romanov, 论文是关于数论的.

据 Lev Pontryagin(庞特里亚金)回忆, Schnirelmann 1938 年 9 月 24 日在莫斯科自杀身亡.

Schnirelmann 的数学成就

Schnirelmann 的学术成绩, 首先在代数领域取得.

References

  1. 华罗庚, 数论导引
  2. 闵嗣鹤, 数论的方法
  3. A.O. Gelfond, Yu. V. Linnik, Elementary Methods in Analytic Number Theory
  4. Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition
  5. Melvyn B.Nathanson, Elementary Methods in Number Theory(GTM 195)
  6. A. Y. Khinchin,Three Pearls of Number Theory
Sep 202013
 

Lie algebra(李代数) 是 Sophus Lie 为了研究后来以他的名字命名的 Lie Groups 的代数工具而引进的. Lie algebra 这个术语, 是 Hermann Weyl 在 1930 年代引入的.

The reason why you want to study Lie algebras can have a great impact on what books one would recommend.

下面的书单, 都是以李代数为主. 所以, 谈及太多李群, 表示论的书, 就不列在这里了.

首先是中文书.

1. 万哲先, 李代数, 第二版, 高等教育出版社, 2013

2. 孟道骥, 复半单李代数引论, 北京大学出版社, 1998

3. 苏育才, 卢才辉, 崔一敏, 有限维半单李代数简明教程, 科学出版社, 2008

这三本书都是从代数角度, 来讲李代数. 确切的说, 这几本书都突出了线性代数的方法, 都主要论述李代数理论中最基本, 最完善的部分–复半单李代数的经典理论.

这三本书的门槛都很低, 要求的先修知识不多. 这是优点, 容易上手; 也是缺点, 看不到李代数与别的科目的联系. 李群, 方程, 流形, 在这三本书统统没有踪迹.

万哲先的书, 从头到尾, 只谈复李代数, 甚至第一页给出的李代数的定义, 也是复数域上的李代数. 所以, 阅读万哲先, 留心复数域上李代数与一般域上李代数的区别为好.

实际上, 在中文书中找复李代数, 前两本就够了. 苏育才的书最详尽. 孟道骥的书, 也很详细, 写出了所有的证明. 万哲先的书, 出现最早, 一些简单的证明留给了读者. 如果读者想寻找被万哲先省略的细节, 翻一翻孟道骥. 如果还是没发现, 也许可以在苏育才查到.

万哲先的书, 没有习题; 孟道骥, 在每一节留有几个题目, 大多数都很简单, 少数题的结论值得记住.

4. 严志达, 实半单李代数, 南开大学出版社

5. 严志达, 半单纯李群李代数表示论, 上海科技出版社

6. 孟道骥,朱林生, 姜翠波, 完备李代数, 科学出版社

7. 万哲先, Kac-Moody代数导引

Kac–Moody algebra 通常是无限维的.

本书有英文版 Introduction to Kac-Moody Algebra.

然后, 是外文参考书, 包括有中文译本的书籍.

8. James E, Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GTM 9

9. J.P. Serre, Complex semisimple Lie algebras

Serre 的作品, 笔法都很清晰. 这本书写的很紧凑. 本书是一本非常有价值的进阶著作, 不适合初学者. 读者须有一定的李代数, 结合代数基础, 才可能看懂.

10. N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras

Sep 162013
 

Abstract algebra(抽象代数)是本科生的基础课. 这里列出一些不错的参考书, 也写出评价. 这里, 暂时不涉及更深入的书.

非常值得一读的一本历史著作是 Israel Kleiner,  A History of Abstract Algebra, 2007, Birkhauser

首先是中文书籍.

1. 熊全淹, 近世代数

这是朕读过的第一本这科目的书, 是武汉大学出版社, 1991年第三版. 这是这里谈到这本书的第一个原因. 这本书现在还可以买到, 武大出版社 2004 年重印, 369 页, 与朕手中的那本是一样的.

熊老师是那种真心热爱数学, 用生命来做教学的人. 熊全淹是傅种孙教授的弟子. 熊全淹把数学当终身职业, 与傅先生之关怀与诱导有莫大关系. 熊全淹在武汉大学读书的时候, 从肖君绛教授那里学习了代数. 肖君绛教授是在中国介绍 Van der Waerden 的经典著作 Moderne Algebra的第一人.

这本书不是中国大陆出版的第一本关于近世代数的书, 但应该是属于较早出现的书之一. 该书第一版是 1963 年由上海科技出版社推出的. 据张寿武的经历, 他 1981 年在中山大学读二年级, 给数学系的老师讲抽象代数. 可见, 当时还没有几个数学系开设这个课程.

此外, 该书的体系, 大致类似 Van der Waerden 的书. 熊全淹在前言交待的很清楚了.

这书在每章的最后, 列出长长的参考文献. 这对于喜爱钻研的读者, 是非常重要的.

本书的内容, 大体就是本科生应该掌握的. 遗憾的是, 有些非常重要的概念, 在本书完全没有踪迹. 比如说, 群在集合的作用. 重要的 Sylow 定理, 没有写出证明, 也没有介绍完整.

可能没有哪本书是完美的, 这书当然不能例外. 本书语言有点晦涩, 描述性的话语相当多. 这对于数学书, 不是好的现象.

2. 聂灵沼, 丁石孙, 代数学引论

这是一本影响较大的书, 被很多学校拿来做教科书. 北大数学系多年来抽象代数的教学都遵循了这书. 虽然, 近几年北大的老师又写出了另外的两本书, 并且使用了新书, 但聂和丁的书, 依然是最重要的参考资料之一.

有一种说法是, 本书的内容, 大体相当于 N. Jacobson 的三卷 Lectures in abstract algebra.

一般来说, 本科生只在课堂学到这里面内容的前四章, 加上第七, 八章的部分. 本书的一个特点是, 习题很多. 不少题目都是论文的结论, 因此很有难度. 如果你想搞定所有的习题, 要花一番功夫才行.

3. 丘维声, 抽象代数基础, 高等教育出版社

丘维声的书, 不论是他最擅长的线性代数, 还是解析几何教材, 或者表示论, 都是很一般的, 切不中要害, 观点一般. 不过, 拿来参考一下, 还是可以的. 这本抽象代数基础, 还行. 需要指出的是, 这书的自由群那一节的定理的证明是有错误的.

据说, 丘维声当年考大学的时候, 全国统一阅卷, 他是状元. 他在北大被多次评为十佳教师. 他在黑板的板书, 工工整整. 可是, 他教了十几次线性代数, 写了好几本线性代数的书, 处理行列式的定义, 依然乱七八糟.

4. 赵春来, 徐明曜, 抽象代数, I, II. 北京大学出版社

如果要在中文书里选出一本来入门抽象代数, 那么, 本书就是朕想推荐的.

本书分为 I,II 两册, II 是研究生教材, 而 I 适合本科生. II 的出版时间, 比 I 早一年半. 两本书的作者都是徐明曜和赵春来, 只是署名顺序不同.

5.  冯克勤, 李尚志, 章璞, 近世代数引论, 第三版, 中国科技大学出版社

中规中矩的一本教材. 不论是内容, 还是处理, 都没有特点. 作者还有一本配套的习题解答: 近世代数三百题, 高等教育出版社.

6. 姚慕生, 抽象代数学, 复旦大学出版社, 第二版

这本书反响不错.

7. 孟道骥 , 陈良云, 白瑞蒲, 抽象代数1:代数学基础, 科学出版社

8. 吴品三, 近世代数, 人民教育出版社

再来, 是 English book.

9. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd Edition

本书被广泛使用, 受到很高的评价. 这可能是最详尽的入门教科书了.

本书习题不算多, 难度适当. 读者完全可以自己独立作答. 实在遇到困难, 网上很容易找到全部的答案.

10. Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 8th

这本书也很详细, 作者还写了一本习题解答.

本书最新是第八版. 不过, 其实即便第五版, 与第八版相比, 只在习题设置有些许差别.

11. Michael Artin, Algebra, second edition

 Posted by at 2:12 pm