Power, Simplicity and Beauty
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Abstract algebra(抽象代数)是本科生的基础课. 这里列出一些不错的参考书, 也写出评价. 这里, 暂时不涉及更深入的书. 非常值得一读的一本历史著作是 Israel Kleiner, A History of Abstract Algebra, 2007, Birkhauser 首先是中文书籍. 1. 熊全淹, 近世代数 这是朕读过的第一本这科目的书, 是武汉大学出版社, 1991年第三版. 这是这里谈到这本书的第一个原因. 这本书现在还可以买到, 武大出版社 2004 年重印, 369 页, 与朕手中的那本是一样的. …
Abstract algebra 0: Books Read More先看一个随便打开一本初步的群论书籍都很可能见到的习题, 例如 Serge Lang 的 “Algebra(Revised third edition)” 的 \(75\) 页: Let \(H,K\) be finite subgroups of a group \(G\). Show that \[|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.\] 常见的至少两种做法, 这里就不重复了. 现在我们尝试使用 group action 这个武器来进攻. 考察映射 …
Group actions 2: the Orbit-Stabilizer theorem Read MoreGroup action(the action of a group on a set, 群在集合上的作用) 是任何一本像样的群论入门书都会讲到的概念. 这概念是如此的重要, 在几何, 拓扑, 分析, 数论中用处广泛, 更不论代数了. 需要说明的是, 不仅仅有群在集合上的作用, 也有群在群上的作用. 这里, 我们只关注前者. 1998 Fields Medalist Timothy Gowers 曾以此为主题, 写过一个系列. 我这里东施效颦. Let \(G\) be a …
Group actions 1 Read MoreHarnack’s inequality 是关于调和函数的一个不等式, 被 A. Harnack 在 1887 年引进. 随后又被其他人重新发现, 比如 J. Serrin 和 J. Moser. 有不少重要的数学家对 Harnack’s inequality 做出各种推广. 通过Nash-Moser迭代, 人们发现在较为一般的散度型椭圆方程和抛物方程正解都具有这种性质. 从此, Harnack 不等式在偏微分方程解性质研究中发挥了巨大作用. 上世纪八十年代, P.Li 和丘成桐给出了Harnack不等式的另一种认识途径, 即所谓微分Harnack 估计. Li-Yau 对 Harnack不等式的新认识对 Ricci 流发展有重要影响. 经典椭圆型偏微分方程和抛物方程中的Harnack不等式在几何流中, …
Complex analysis 6: Harnack’s inequality Read More这里指的是复分析中关于幂级数的 Abel’s theorem, 目的是讨论幂级数在收敛圆周的性态. \( D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\} \). Let \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)\)be a power series, and the radius of convergence of \(f(z)\) is \(1\), \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s\). we cannot …
Complex analysis 5: Abel’s theorem Read More这节的目的是 Cauchy–Riemann 方程. 注意, 我们是在不涉及导数, 解析函数的前提下做这件事. Cauchy–Riemann 方程 大名鼎鼎的 Cauchy–Riemann equations: \[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}\] 这是一个偏微分方程组, 是复分析的核心. Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations 是有联系的.
Complex analysis 4: Cauchy–Riemann equations Read MoreFundamental theorem of algebra(FTA) Every polynomial of degree \(n\geqslant1\) with complex coeficients has a zero in \(\Bbb C\). 我们尝试使用 Cauchy 积分公式来证明代数基本定理. 其实有几个大同小异的证明, 基本的想法是一致的. 第一个证明属于 Anton R. Schep. Proof. Let \(p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb+a_1z+a_0\) be a …
Complex analysis 3: Proofs of the fundamental theorem of algebra based on Cauchy’s theorem Read More下面的定义在多值函数中起着重要作用: 定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设 1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上; 2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\); 3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\); 4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化; 5) 沿着曲线 \(\gamma\) …
Complex analysis 2: Variation of argument, fundamental theorem of algebra Read More