Abstract algebra 0: Books

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Sep 162013
 

Abstract algebra(抽象代数)是本科生的基础课. 这里列出一些不错的参考书, 也写出评价. 这里, 暂时不涉及更深入的书.

非常值得一读的一本历史著作是 Israel Kleiner,  A History of Abstract Algebra, 2007, Birkhauser

首先是中文书籍.

1. 熊全淹, 近世代数

这是朕读过的第一本这科目的书, 是武汉大学出版社, 1991年第三版. 这是这里谈到这本书的第一个原因. 这本书现在还可以买到, 武大出版社 2004 年重印, 369 页, 与朕手中的那本是一样的.

熊老师是那种真心热爱数学, 用生命来做教学的人. 熊全淹是傅种孙教授的弟子. 熊全淹把数学当终身职业, 与傅先生之关怀与诱导有莫大关系. 熊全淹在武汉大学读书的时候, 从肖君绛教授那里学习了代数. 肖君绛教授是在中国介绍 Van der Waerden 的经典著作 Moderne Algebra的第一人.

这本书不是中国大陆出版的第一本关于近世代数的书, 但应该是属于较早出现的书之一. 该书第一版是 1963 年由上海科技出版社推出的. 据张寿武的经历, 他 1981 年在中山大学读二年级, 给数学系的老师讲抽象代数. 可见, 当时还没有几个数学系开设这个课程.

此外, 该书的体系, 大致类似 Van der Waerden 的书. 熊全淹在前言交待的很清楚了.

这书在每章的最后, 列出长长的参考文献. 这对于喜爱钻研的读者, 是非常重要的.

本书的内容, 大体就是本科生应该掌握的. 遗憾的是, 有些非常重要的概念, 在本书完全没有踪迹. 比如说, 群在集合的作用. 重要的 Sylow 定理, 没有写出证明, 也没有介绍完整.

可能没有哪本书是完美的, 这书当然不能例外. 本书语言有点晦涩, 描述性的话语相当多. 这对于数学书, 不是好的现象.

2. 聂灵沼, 丁石孙, 代数学引论

这是一本影响较大的书, 被很多学校拿来做教科书. 北大数学系多年来抽象代数的教学都遵循了这书. 虽然, 近几年北大的老师又写出了另外的两本书, 并且使用了新书, 但聂和丁的书, 依然是最重要的参考资料之一.

有一种说法是, 本书的内容, 大体相当于 N. Jacobson 的三卷 Lectures in abstract algebra.

一般来说, 本科生只在课堂学到这里面内容的前四章, 加上第七, 八章的部分. 本书的一个特点是, 习题很多. 不少题目都是论文的结论, 因此很有难度. 如果你想搞定所有的习题, 要花一番功夫才行.

3. 丘维声, 抽象代数基础, 高等教育出版社

丘维声的书, 不论是他最擅长的线性代数, 还是解析几何教材, 或者表示论, 都是很一般的, 切不中要害, 观点一般. 不过, 拿来参考一下, 还是可以的. 这本抽象代数基础, 还行. 需要指出的是, 这书的自由群那一节的定理的证明是有错误的.

据说, 丘维声当年考大学的时候, 全国统一阅卷, 他是状元. 他在北大被多次评为十佳教师. 他在黑板的板书, 工工整整. 可是, 他教了十几次线性代数, 写了好几本线性代数的书, 处理行列式的定义, 依然乱七八糟.

4. 赵春来, 徐明曜, 抽象代数, I, II. 北京大学出版社

如果要在中文书里选出一本来入门抽象代数, 那么, 本书就是朕想推荐的.

本书分为 I,II 两册, II 是研究生教材, 而 I 适合本科生. II 的出版时间, 比 I 早一年半. 两本书的作者都是徐明曜和赵春来, 只是署名顺序不同.

5.  冯克勤, 李尚志, 章璞, 近世代数引论, 第三版, 中国科技大学出版社

中规中矩的一本教材. 不论是内容, 还是处理, 都没有特点. 作者还有一本配套的习题解答: 近世代数三百题, 高等教育出版社.

6. 姚慕生, 抽象代数学, 复旦大学出版社, 第二版

这本书反响不错.

7. 孟道骥 , 陈良云, 白瑞蒲, 抽象代数1:代数学基础, 科学出版社

8. 吴品三, 近世代数, 人民教育出版社

再来, 是 English book.

9. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd Edition

本书被广泛使用, 受到很高的评价. 这可能是最详尽的入门教科书了.

本书习题不算多, 难度适当. 读者完全可以自己独立作答. 实在遇到困难, 网上很容易找到全部的答案.

10. Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 8th

这本书也很详细, 作者还写了一本习题解答.

本书最新是第八版. 不过, 其实即便第五版, 与第八版相比, 只在习题设置有些许差别.

11. Michael Artin, Algebra, second edition

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Group actions 2: the Orbit-Stabilizer theorem

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Sep 012013
 

先看一个随便打开一本初步的群论书籍都很可能见到的习题, 例如 Serge Lang 的 “Algebra(Revised third edition)” 的 \(75\) 页:

Let \(H,K\) be finite subgroups of a group \(G\). Show that
\[|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.\]

常见的至少两种做法, 这里就不重复了. 现在我们尝试使用 group action 这个武器来进攻.

考察映射

\[\pi\colon (H\times K)\times HK\to HK\]

\[((h,k),x)\mapsto hxk^{-1}.\]

容易验证, 这确是群 \(H\times K\) 在集合 \(HK\) 上的一个作用.

注意, \(e\in HK\), 以及 \(\pi((h,k^{-1}),e)=hk\), 因之 \(Orb(e)=HK\). 此外, \(\pi((h,k),e)=e\) 意味着 \(hk^{-1}=e\). 于是, \(Stab(e)=\{(h,h)\mid h\in H \cap K \}\), 进而 \(|Stab(e)|=|H\cap K|\).

然后, 由 the Orbit-Stabilizer theorem 就得到了想要的结果.     \(\Box\)

换个做法也可以.

考虑群 \(H\) 在齐性空间 \((G/K)_l\)(群 \(G\) 中, 子群 \(K\) 的所有左陪集组成的集合) 上的左平移

\[H\times (G/K)_l\to (G/K)_l\]

\[(h,xK)\mapsto hxK.\]

注意 \(Orb(K)=\{hK\mid h\in H\}\). 当然 \(\cup \{hK\mid h\in H\}=HK\). 此外, \(|hK|=|K|\), 结合 \(hK\ne h^\prime K\) 时, \(hK \cap h^\prime K=\emptyset\), 给出

\[|Orb(K)|=\frac{|HK|}{|K|}.\]

此外, \(Stab(K)=\{h\in H\mid hK=K\}\). 明显的是, \(hK=K\) 当且仅当 \(h\in K\), 于是 \(Stab(K)=H\cap K\).

综合起来, the Orbit-Stabilizer theorem 给出

\[\frac{|HK|}{|K|}=\frac{|H|}{|H\cap K|},\]

这就是我们梦寐以求.    \(\Box\)

 Posted by at 12:10 am

Group actions 1

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Aug 292013
 

Group action(the action of a group on a set, 群在集合上的作用) 是任何一本像样的群论入门书都会讲到的概念. 这概念是如此的重要, 在几何, 拓扑, 分析, 数论中用处广泛, 更不论代数了.

需要说明的是, 不仅仅有群在集合上的作用, 也有群在群上的作用. 这里, 我们只关注前者. 1998 Fields Medalist Timothy Gowers 曾以此为主题, 写过一个系列. 我这里东施效颦.

Let \(G\) be a group and let \(X\) be a set. Let \(S(X)\) be the group of all permutations of \(X\). An action or an operation of \(G\) on \(X\) is a homomorphism

\[\pi\colon G\to S(X)\]

of \(G\) into \(S(X)\).

 Posted by at 11:15 am

Complex analysis 6: Harnack’s inequality

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Aug 152013
 

Harnack’s inequality 是关于调和函数的一个不等式, 被 A. Harnack 在 1887 年引进. 随后又被其他人重新发现, 比如 J. Serrin 和 J. Moser. 有不少重要的数学家对 Harnack’s inequality 做出各种推广. 通过Nash-Moser迭代, 人们发现在较为一般的散度型椭圆方程和抛物方程正解都具有这种性质. 从此, Harnack 不等式在偏微分方程解性质研究中发挥了巨大作用. 上世纪八十年代, P.Li 和丘成桐给出了Harnack不等式的另一种认识途径, 即所谓微分Harnack 估计. Li-Yau 对 Harnack不等式的新认识对 Ricci 流发展有重要影响. 经典椭圆型偏微分方程和抛物方程中的Harnack不等式在几何流中, 有很多应用. Perelman 证明 Poincaré conjecture, 就使用了 R. Hamilton 的一个 Harnack’s inequality 的推广形式. Harnack’s inequality 在偏微分方程有很多重要应用.

Harnack’s inequality  Let  \(D=\{z:|z|<1\}\). suppose \(f(z)\) is analytic on \(D\), \(\mathrm{Re}f(z)\geqslant0,\forall z\in D, f(0)>0\), then

  • \(|\mathrm{Im}f(z)|\leqslant f(0)\dfrac{2|z|}{1-{|z|^2}};\)
  • \(f(0)\dfrac{1-|z|}{1+|z|}\leqslant \mathrm{Re}f(z)\leqslant |f(z)| \leqslant f(0)\dfrac{1+|z|}{1-|z|},\)

and that equality holds if and only if  \(f(z)=w_0\dfrac{1+e^{i\alpha}z}{1-e^{i\alpha}z}\)(\(w_0,\alpha\in\Bbb R\), and \(w_0>0\)).

Proof   Without loss of generality, we assume \(f(0)=1\). Let

\[ h(z) =\frac{1+z}{1-z} \]

be the standard linear fractional map of \(D\) onto the right half plane. \(\forall r, 0\leqslant r<1\),  \(h(z)\) maps \(\{z: |z|\leqslant r\}\)  to the disc

\[E_r=\{w:|w-\frac{1+r^2}{1-r^2}|\leqslant\frac{2r}{1-r^2}\}.\]

According to Schwartz  lemma , it follows that

\[\left |\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right| \leqslant |z|,\]

Thus we are led to the conclusion that

\[ |h^{-1}(f(z))|\leqslant |z|.\]

this implies \(f(z)\in E_{|z|}\).        \(\Box\)

Complex analysis 5: Abel’s theorem

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Aug 112013
 

这里指的是复分析中关于幂级数的 Abel’s theorem, 目的是讨论幂级数在收敛圆周的性态.

\( D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\} \). Let \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)\)be a power series, and the radius of convergence of \(f(z)\) is \(1\), \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s\). we cannot conclude that

\[\lim_{D\ni z\to1 }f(z)= s.\]

这个事情说来话长.

In 1916, Sierpiński constructed a power series with radius of convergence equal to \(1\), also converging on every point of the unit circle, but with the property that \(f\) is unbounded near \(z=1\).

Sierpiński 的例子很复杂, 在一本法文书上可以找到.

For odd \(n\) let  \(p_n = 1\cdot 3\cdot 5\cdots n\), For even \(n\) set \(p_n=2p_{n-1}\). Define

\[ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}nz^{p_n}. \]

Complex analysis 4: Cauchy–Riemann equations

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Apr 072013
 

这节的目的是 Cauchy–Riemann 方程. 注意, 我们是在不涉及导数, 解析函数的前提下做这件事.

Cauchy–Riemann 方程

大名鼎鼎的 Cauchy–Riemann equations:

\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}\]

这是一个偏微分方程组, 是复分析的核心.

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations 是有联系的.

Complex analysis 3: Proofs of the fundamental theorem of algebra based on Cauchy’s theorem

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Mar 232013
 

Fundamental theorem of algebra(FTA)   Every polynomial of degree \(n\geqslant1\) with complex coeficients has a zero in \(\Bbb C\).

我们尝试使用 Cauchy 积分公式来证明代数基本定理. 其实有几个大同小异的证明, 基本的想法是一致的. 第一个证明属于 Anton R. Schep.

Proof. Let \(p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb+a_1z+a_0\) be a polynomial of degree \(n\geqslant1\) and assume that \(p(z)\ne0\) for all \(z\in\Bbb C\). Then the function defined by \(\frac1{p(z)}\) is entire. By Cauchy’s theorem,

\[\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}=\dfrac{2\,\mathrm\pi i}{p(0)}\ne 0.\]

Since

\[|p(z)| \geqslant |z|^n\left(1-\frac{|a_{n-1}|}{|z|}-\dotsb-\frac{|a_0|}{|z|^n}\right) > \frac12|z|^n\]

for \(z\) sufficiently large, so

\[\left|\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}\right| \leqslant 2\,\mathrm\pi r \cdot \max_{|z|=r}\dfrac1{|zp(z)|} = \dfrac{2\,\mathrm\pi }{\min\limits_{|z|=r}|p(z)|}\to0(r\to\infty),\]

which is a contradiction, and therefore \(p(z)\) has a zero.   \(\Box\)

这个证明还可以另一种面目表现出来: 使用关于解析函数的 Mean-Value Property(MVP).

第二个证明   依旧是反证法. 我们可以假定 \(z\in\Bbb R\) 时, \(p(z)\) 是实数(否则, 考虑 \(p(z)\overline{p}(z)\), 这里 \(\overline{p}(z)=z^n+\overline{a_{n-1}}z^{n-1}+\dotsb+\overline{a_1}z+\overline{a_0}\)). 既然, \(\forall x\in\Bbb R, p(x)\ne0\), 于是可有

\[\int_0^{2\,\mathrm\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{p(2\cos \theta)}\ne 0.\]

但是, 这个积分显然等于

\[\frac1i\int_{|z|=1}\frac{\mathrm dz}{zp(z+\frac1z)}=\frac1i\int_{|z|=1}\frac{z^{n-1}\,\mathrm dz}{q(z)},\]

这里 \(q(z)=z^np(z+\frac1z)\) 是一个多项式. 显然 \(z\ne0\) 时, \(q(z)\ne 0\), 而且 \(q(0)=1\), 于是 \(\dfrac{z^{n-1}}{q(z)}\) 是整函数. 据 Cauchy 定理, 上面的积分是 \(0\). 矛盾！

Complex analysis 2: Variation of argument, fundamental theorem of algebra

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Mar 102013
 

下面的定义在多值函数中起着重要作用:

定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设

1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上;

2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\);

3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\);

4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化;

5) 沿着曲线 \(\gamma\) 一圈, 第一次回到 \(a\), 这个时候\(f(a)\) 的辐角, 记为 \(\alpha_2\),

我们把

\[\Delta_{\gamma}\arg f(z)\equiv\alpha_2-\alpha_1\]

称为 \(f(z)\) 沿 \(\gamma\) 的辐角变化总量.

下面我们用这个想法来证明代数基本定理. 这仅是一个思路, 要严格写出来, 估计要不少篇幅.

设 \(f(z)=a_nz^n+\dotsc+a_1z+a_0\).

记 \(\gamma_1\) 是圆心在原点的半径为 \(R\) 的圆. 当 \(R\) 充分大的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_1\) 的辐角变化量是 \(2n\pi\);

另一方面, 当 \(a_0\ne0\) 时, 当 \(r\) 充分小的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_2\) 的辐角变化量是 \(0\), 这里 \(\gamma_2\) 是圆心在 \(a_0\) 的半径为 \(r\) 的圆.

这两方面的矛盾说明, \(f(z)\) 必定在某个 \(z_0\) 使得 \(f(z_0)=0\).

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