作者:赵亮 xida Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用,本文是若干年前读书时的笔记。 Hurwitz 平方和定理 我们都熟悉复数的乘法:如果 \(z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i\) 是两个复数,则 \(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\),也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式: \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数,从而导出了类似的 8 平方和等式,当然具体写出来会很复杂,这里就按下不表了。 一般地,如果能在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义向量之间的乘法: \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 \(v\times w\) 对 \(v,w\) 都是线性的,而且乘积的范数等于范数的乘积:\(|v\times w|=|v|\cdot |w|\) (这里 \(|\cdot|\) 是通常的欧式范数),则我们就得到了一个 \(n\) 平方和等式。 在接下来的 50 年里,人们一直致力于寻找可能的 16 …
Hurwitz’s theorem of sum of squares Read More