Fermat’s theorem on sums of two squares: History

Fermat 的平方和定理: 素数 \(p\equiv1\pmod4\),则 \(p\) 能表成两个整数 \( a, b\) 的平方和 \(p=a^2+b^2\). 是很精彩的定理,在堆垒数论很经典,我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。 在历史上,最早考虑把正整数(不仅仅是素数)表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给 Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述,同时也定出了把 \(p\) 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。 Albert Girard 小传 …

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Cyclotomic polynomial, Swinnerton-Dyer polynomial

作者:赵亮 问题:有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式,它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的,而对任意素数 \(p\),模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的? 当时我给了回答,后来账号注销了,答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里: 我所知道的有两大类多项式: 第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式,它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数,乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式,但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。 第二类来自分圆多项式,分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) …

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Hurwitz’s theorem of sum of squares

作者:赵亮  xida Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用,本文是若干年前读书时的笔记。 Hurwitz 平方和定理 我们都熟悉复数的乘法:如果 \(z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i\) 是两个复数,则 \(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\),也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式: \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数,从而导出了类似的 8 平方和等式,当然具体写出来会很复杂,这里就按下不表了。 一般地,如果能在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义向量之间的乘法: \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 \(v\times w\) 对 \(v,w\) 都是线性的,而且乘积的范数等于范数的乘积:\(|v\times w|=|v|\cdot |w|\) (这里 \(|\cdot|\) 是通常的欧式范数),则我们就得到了一个 \(n\) 平方和等式。 在接下来的 50 年里,人们一直致力于寻找可能的 16 …

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From modular function to uniformization theorem II

作者:秋水无涯 Prologue: 要善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方。 ——华罗庚   “转换原理”可以粗略地叙述如下:如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立,则对“在 \(\mathbb{C} \) 上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。 我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理: 任何一个在 \(\mathbb{C}\)上有界的全纯函数f必为常值函数。 “转换原理”将其加强为著名的Picard小定理: 任何一个在 \(\mathbb{C} \)上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。 下面来证明Picard小定理,借以说明“转换原理”的运作机制: 首先注意到,我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为 \(Im(f) \subset \triangle\). 假设全纯函数 \(F \) 在 \(\mathbb{C}\) 上有2个空隙值。考虑复合函数\(\mu=\lambda ^{-1} \circ F\)。任取 …

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The first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions

​7月7日,Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了: Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), …

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Yau and Tian

本文整理自知乎 question/23673510. 下面的观点看法完全来自网友,本站不写任何评论。 匿名用户:多年前和田的学生谈过这事,说是因为在中国的数学界愿景不同,利益不同,看法不同造成的。此外,田的硕士导师张恭庆对他有影响,使他不可能支持丘为了发展自己愿景的一些做法。当时田在麻省理工学院学院已经拿到正式的教职,因此丘对他不服从也无可奈何。 两个人争论的事情其实在其次,因为即使有一两个数学家人品有问题,存在剽窃行为或故意损害他人的名誉,也并不是很大的事情。但是这件事对在美国的华人数学家多少会有影响。现在许多人因为陈省身的影响做微分几何,到美国来之后选导师常常跟随中国教授。于是影响到整个(中国人)几何分析学界,一派是田刚的学生,另一派是丘成桐的学生。 读博士之后毕业出来找工作会互相排斥,出席会议田刚的学生会避开在丘成桐面前提到田刚。这些学术政治对数学发展显然都是不利的。一个简单的例子是张益唐回国之后在那里做讲座都成了问题,因为去那里都会得罪人。 另一方面,大部分中国学生的数学水平本来就很差,读博士之前之前大多没有严格的科研训练。在博士阶段遭遇这样的经历谈论学术政治,导师没有打开视野进行开拓性的研究而教育他们为了发表论文而发表论文,希望日后在就业市场竞争能占到优势,这对他们未来的发展没有很大帮助。对于年轻的数学家,应该把学术政治上的争论放下,选一个自己心仪的导师做数学。在数学上,无论是田刚还是丘成桐都有相当的贡献,年轻人从他们的工作还是能学到很多(如丘成桐的微分几何讲义)。 但是数学和数学家是分不开的,接受过去纷繁复杂的现实,一个人大踏步向前前进并不是这么容易。Richard Borcherds说过,对他来说读论文比和他人谈话了解数学更直接。几何分析现在是一个非常技术性的分支,想要做出好研究而像他那样在现实生活里不涉及那些数学家是很困难的。例如曹怀东的学生就会对纽约客上的批评文章非常敏感 – Perelman的论文非常难,我的导师好不容易做了许多工作补上了细节,还说他的文章没有原创性,没有价值!不公平!他们没有雄心壮志在四维流形上超越Perelman伟大的工作,但是他们热衷于对这些事品头论足,做出一点微不足道的结果就自鸣得意,更耻于向他人学习自己不感兴趣的领域。开学术会议的时候,中国人之间谈的大多是金钱,职位和如何在美国立足,而不是数学。这是学术政治摧毁人的地方。 Yuhang Liu:  我有一些老师也对丘田之间的冲突感到很惋惜。我本科一个老师说:“两个人都做了很不错的工作。弄成这样是干什么呢?”事实上两人也在尽量淡化冲突,他们肯定都不希望媒体继续跟进报导两人之间的恩怨,毕竟这种事情传出去也不是什么好听的事情。 最后说一句,两人对年轻数学学生的培养都是尽心尽力的,这一点大家有目共睹无可否认。我个人觉得,上一辈倘若做错了什么事情,那也是上一辈的事情,下一辈已经是新的一代,不要过多纠缠上一辈的事情。学术界应该是纯粹干净的学术界,不是什么学术江湖。

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