Geometric Transformations IV: Circular Transformations 应该有一个中文译本, 最主要的理由是: 这是一本非常精彩的书, 很经典; 读者主要是中学师生. 确实应该翻译这书, 姑且不论前三册已经有中文本, 只是因为内容太美好. 如果不是面对中学, 有个影印本就可以了. 重新出版的话, 最好是四册一起, 当然最重要是第四册. 前三册的翻译已经很好, 翻译第四册足以. 第四册的附录, 关于非欧几何(Non-Euclidean geometry), 是第三册附录的继续, 所以, 译者必须精通非欧几何. 或许, 我本人可以完成这个工作…
Shinichi Mochizuki has released his long-rumored proof of the abc conjecture, in a paper called Inter-universal Teichmuller theory IV: log-volume computations and set-theoretic foundations. If true, the proof would be one of the most astounding achievements of mathematics of the 21st century. The homepage of Professor Shinichi Mochizuki is here. Excited, but caution Terence Tao’s comment(from […]
I. M. Yaglom(Isaak Moiseevich Yaglom, March 6, 1921 – April 7, 1988) 的 Geometric Transformations 的第四册是 Geometric Transformations IV: Circular Transformations. Geometric Transformations (几何变换)是前苏联数学家 I. M. Yaglom 的经典著作, 内容分为三部分, 作两册出版: 前两部分为第一册, 第三部分为第二册. 美国数学会在 \(1960\) 年代的”新数学”运动期间, 出版了一套”新数学丛书”, 其中就有这本 Geometric Transformations. 英文版分为四册, 前三册分别于 \(1962, 1968, 1973\) 年出版, 但第四册迟迟没有下文, 直到 \(2009\) 年, 才出版了第四册, 就是本文的主角, 这离第三册的面世已经过去整整 \(36\) 个年头. 北京大学出版社 \(1983\) 年以来, 陆续翻译了”新数学丛书”的一些, 所以, 读者可以在中文版的”几何变换”上看到译者的交待, 说中文版有四册, 但是实际上只出过前三册. 至于第四册, 还没有看到有出版的那一天, […]
最常用的矩阵(matrix)的元素都是实数或者都是复数, 其行列式(determinant)的定义只涉及加, 减, 乘, 所以对任意交换环(commutative ring)上的方阵(square matrix), 其实都可以定义行列式. 对于非交换环(non-commutative ring)上的方阵, 即全部元素都属于某个非交换环的方阵, 行列式还没有独一无二的确切定义, 没有哪个定义使得非交换环上的方阵的行列式具备交换环上的行列式有的那些常见性质.
间接或者直接使用中国剩余定理(the Chinese remainder theorem)可以证明二次互反律. 间接使用, 意思是互反律的证明使用了某个定理, 但是这个定理的关键却在 CRT; 直接使用容易理解. Sey Y.Kim 在 The American Mathematical Monthly, Vol.111, Jan., \(2004\),\(48\)-\(50\) 有一个比较简洁的初等证明, 使用了 Euler的判别条件(Euler’s criterion)和由中国剩余定理导出的同余方程的一个结论, 可算间接证明的代表; 而 G.Rousseau, Tim Kunisty, Klaus Hoechsmann 的证明, 都是直接使用了 CRT 的一个特例, 即群论中的一个同构 \(\Bbb Z_{pq}^*\cong\Bbb Z_p^*\times\Bbb Z_q^*\). Sey Y.Kim 的证明也收录在 Biscuits of Number Theory 一书.
Thurston passed away at 8pm on August 21 in Rochester, NY. William Paul Thurston (October 30, 1946 – August 21, 2012) was an American mathematician. 他是低维拓扑学(Low-dimensional topology)领域的先驱. 1982 年, 他因为在三维流形(3-manifolds)的工作, 而获得了菲尔兹奖(Fields Medal). Thurston 最好的工作, 应该是他对Hyperbolization theorem的证明. 这个描述三维流形拓扑与几何结构的困难定理, 最终导致了Thurston的几何化猜想(Geometrization conjecture). 他以直觉的方式(intuitive approach)来研究数学. 他能”感觉”到三维流形, 却写不出来. 针对此种质疑, Thurston写过一篇非常值得推荐的文章 On proof and progress in mathematics. Thurston 的名著 Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol 1, 以直观的方式讨论几何化猜想. Vol […]
If \(p,q\) are distinct odd primes, then \[\left( \frac pq\right) \left( \frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4},\] where \(\left( \frac{}{}\right)\) is the Legendre symbol. 这就是被 Gauss 称为”数论酵母” 的二次互反律. 自 Legendre 的那个没有完成的证明以来, 据 Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein 的作者 Franz Lemmermeyer 统计, 发表的证明是 \(240\) 个. 可以预见的到, 这个数字还会不断增加. 这些证明的作者, 发表年份,使用的方法以及文献的详细列表可在 Lemmermeyer 的个人主页找到. 其中, \(1889\) 这一年就有 \(6\) 个证明公布, \(1893,1951,1961\) 年也各有 \(5\) 个证明发表在不同的期刊上. 仅看从 \(1950\) 年到今天的这 \(60\) […]
卢昌海谈 Riemann 猜想(Riemann hypothesis)的系列文章, 刚刚由清华大学出版社结集出版, 书名”黎曼猜想漫谈”. 从卢昌海动笔写第一篇谈Riemann 猜想的小文章, 到现在出版成书, 过去了八年仅仅差三个月. 在正式出版之前, 其内容已经在网络广为流传, 被很多人转载, 也被数学杂志连载刊登过, 影响巨大. 现在作为数学科普出版, 相信会促进科学的传播, 有助于大家了解这个数学中最重要的难题. 书名: 黎曼猜想漫谈 ISBN: 978-7-302-29324-8 出版社: 清华大学出版社 作者: 卢昌海 出版日期: 2012年08月 定价: 25 人民币元