Individual 2016-analysis-and-differential-equations-individual 2016-geometry-and-topology-individual 2016-algebra-and-number-theory-individual 2016-probability-and-statistics-individual 2016-applied-math-and-computational-math-individual Team 2016-s-t-yau-college-student-mathematics-contests-team
本文作者 Zilin Jiang 对于一个三角形 \(T\), 一定可以找到一个椭圆 \( E\), 满足 \(E\subseteq T\subseteq 2E\). 对于一个平行四边形\(P\), 一定可以找到一个椭圆\( E^*\), 满足 \( E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*\). 由于在仿射变换下三角形, 平行四边形, 椭圆, 线段比例都保持, 所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了. 实际上, John定理断言, 每一个\( n\) 维凸体\( K\) 都有一个相应的椭球 \(E\) 满足, \(E\subseteq K\subseteq nE\). 对每一个中心对称凸体 \( C\), 都有一个相应的椭球 \( E^*\) 满足 \( E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*\). 为了证明John定理, 我们需要引入 John 椭球的概念, 为此需要证明 John-Loewner 椭球定理: 对于任意一个 \( n\) 维空间中的含有内点的紧子集, 存在唯一的椭球包含\(K\), 使得椭球体积达到最小, 此时, 称该椭球为 John 椭球. 证明(概要) 利用椭球与\( n\) 阶正定对称阵的联系, 考虑所有包含 \(K\) 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间\( C_K\), 证明\( \det\) 函数在\(C_K\) 上取到最大值, 存在性得证. 如果 \(\det\) 在 \( C_K\) 中有两个极大值点, 可以通过这两个极大值点构造 \( C_K\) 中的元素, 使得\(\det\) 在该元素上的取值更大(这里需要利用\(\ln \det\) […]
集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. 我们把问题写的更清楚一点, 即我们要证明: \(n_1\), \(n_2\), \(\dotsc\), \(n_k\) 是互不相同的无平方因子正整数; \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_k\) 都是整数. 令 \[S=a_1\sqrt{n_1}+a_2\sqrt{n_2}+\dotsb+a_k\sqrt{n_k},\] 那么 \(S=0\) 当且仅当 \(a_1=a_2=\dotsb=a_k=0\). 第一个办法是指出更精细的结果: 记 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 是 \(n_1n_2\dotsm n_k\) 的所有互不相同的质因子. 则存在 \[S^\prime=b_1\sqrt{m_1}+b_2\sqrt{m_2}+\dotsb+b_l\sqrt{m_l},\] (这里 \(b_1\), \(b_2\), \(\dotsc\), \(b_l\) 都是整数; \(m_1\), \(m_2\), \(\dotsc\), \(m_l\) 都是无平方因子正整数, 并且都没有 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_N\) 以外的质因子), […]
这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成. 以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序, 因此, \begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation} 既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是 \begin{equation}\frac{B_iB_{i+1}}{A_iA_{i+1}}=\frac{A_1B_{i+1}}{A_1A_i},\end{equation} \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \begin{equation}\frac{B_2B_k}{A_2A_k}=\frac{A_1B_k}{A_1A_2}.\end{equation} 设 \(a_j=A_1A_j^2\)(\(j=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k\)), \(b_i=A_iA_{i+1}^2\)(\(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\)), 以及 \(c=A_2A_k^2\), 我们可有 \begin{equation}B_iB_{i+1}=\sqrt{\frac{b_{i+1}}{a_ia_{i+1}}},\end{equation} \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \begin{equation}B_2B_k=\sqrt{\frac{c}{a_2a_k}}.\end{equation} 至此, 出现在眼前的是 \begin{equation}\sum_{i=2}^{k-1}\sqrt{\frac{b_{i+1}}{a_ia_{i+1}}}=\sqrt{\frac{c}{a_2a_k}}.\end{equation} 关键的任务是说明当 \(k\gt3\) 时, 上式不可能为真: 对于 […]
2016 第 57 届 IMO 解答 Problem 1 (The Kingdom Of Belgium) 注意 \(\triangle FAB\), \(\triangle DAC\), \(\triangle EAD\) 是顶角相等的等腰三角形, 即 \[\angle FBA=\angle FAB=\angle DAC=\angle DCA= \angle EAD=\angle EDA.\] 既然 \(\triangle FAB\sim \triangle DAC\), 于是 \(\triangle ABC\sim \triangle AFD\), 进而 \begin{equation}\begin{split}\angle FDC&=180^\circ-\angle ADF-\angle DAC-\angle DCA\\&=180^\circ-\angle ACB-\angle FAB-\angle FBA\\&=\angle FBC=90^\circ,\end{split}\end{equation} \(D\) 落在以 \(M\) 为心, \(MB\) 为半径的圆上, 即 \(D\), \(F\), \(B\), \(C\) 四点共圆, […]
Day \(1\) Monday, July 11, 2016 Problem 1. Triangle \(BCF\) has a right angle at \(B\). Let \(A\) be the point on line \(CF\) such that \(FA=FB\) and \(F\) lies between \(A\) and \(C\). Point \(D\) […]
162. 许文强、丁力正式加入冯敬尧集团 冯敬尧把总经理的位置让给了许文强 163. 丁力就知道 “十八摸” 164. 注意丁力的话 165. 这是文强的回答 文强刚来上海找工作的时候，曾经反驳过世人对读书人的成见：“读书人并不都是手无缚鸡之力的！” 166. 丁力终于实现了长久的一个夙愿：住在霞飞路 167. 丁力第一次为冯敬尧做事 衣服仔细穿戴，心情很激动 自己的机会终于来了， 也可以在大家面前耍威风，扬威耀武 名利酒色之徒 168. 公共租界的自来水厂，登报招标出让 自来水 这是这个帖子要仔细分析的几件事之一
144. 接下来，文强和金大光的矛盾，实际上也是与其他帮会的矛盾，全面展开 145. 很偶然，丁力认识了老金的二奶 两个淫荡的人碰上了，会有啥好事？当然是干柴烈火 146. 此女相貌如何？还算白净 丁力好色最给力的证明 147. 这位名叫”贾依人”的“小姐”，扮演者是刘雅丽 是的，引起祸端，也没让丁先生上床，就拍拍屁股一走了之 刘雅丽在自己的履历里，根本不提起上海滩…… 148. 男人的毛病，丁力也毫不示弱 看见漂亮女人，就想请吃饭 这件事不是文强帮会被灭的根本原因，但是却引来丁力和老金的直接对抗。结果丁力的冲动和幼稚招致灭门！ 帮会矛盾本来应该由文强决定处理 149. 野男人给男主人开门 娃哈哈 150. 动手了 151. 丁力挨揍 郭靖的师傅 152. 面子 啥是面子？ 153. 文强给了丁力一个耳光 两人的第一次稍许不和谐 154. 丁力自作聪明，准备做掉老金 最忠心的部下，没有坚持自己的做法，最终送命 155. ”这里我也有权说话的！“ 唉，自以为是老大 越权总是一件慎重的事情：遇上糊涂老大，可能送命；上司是个辣手角色，自己只会帮倒忙 156. 老金的要面子，送掉小命 157. 丁力自己过错在先，因为别人侮辱自己，而要对方的命 也是心狠手辣 158. 只剩下两人了 159. 即便这个时候，文强也没有责怪丁力：”可以从头再来” 后面，丁力仅仅因为冯敬尧的命令，砍掉文强的手指，是十分的不地道 160. 冯敬尧听说两人安全，喜上眉梢 冯敬尧爱惜人才是其优点，自己认为能够驾驭文强 但是对手下背叛的十分不能宽恕最终导致自己身败 161. 人在外面不顺心的时候，是否总会想起老家？