How giant grow into giant?

本文很有名, 是摩罗(万松生)的代表作, 被收入江苏高中语文教材, 是他 1998 年出版的书”耻辱者手记” 的第一篇. 在一个喜剧时代,最下流的行为,一定是以最高贵的名义出现的,最黑暗的灵魂,一定是以最光明的面目展示的。 ——《有时候光明就是黑暗》 对于一位优秀人物来说,中国生活的千万个环节中,每个环节都杀机四伏。中国社会对于优秀人物怀着本能的仇恨和恐惧。 ——《巨人何以成为巨人》 巨人何以成为巨人 ——读赫尔岑《往事与随想》第一册 在俄罗斯历史上,赫尔岑属于影响了一个时代的巨人。他的思想和血性直接来源于十二月党人。沙皇当局绞死十二月党人5位领袖时,赫尔岑只是一个十几岁的少年,可他像当时最有良知的知识分子一样,感到了最深切的耻辱、仇恨和痛苦。执行死刑后,当局在莫斯科克里姆林宫举行了一次盛大的祈祷式,以示庆祝。30年后,赫尔岑写道:“我参加了祷告式,我当时只有14岁,隐没在人丛中,就在那里,在那个被血淋淋的仪式玷污了的圣坛前面,我发誓要替那些被处死刑的人报仇,要跟这个皇位、跟这个圣坛、跟这些大炮战斗到底。”少年赫尔岑的整个精神生活几乎完全被这个重大事件所占领,内心时刻不停地激荡着为光明和正义而奋斗的伟大冲动。一个少年难以长期独自品味这样大的冲动和梦想,他必须把它说出去,必须以某种方式与这个世界发生联系并得到反应和验证。他郑重地向他的老师倾诉了他的感情和决心。这位老师平时总是训斥赫尔岑说:“您不会有出息的。”可当他了解到赫尔岑的精神世界后,禁不住说:“我的确以为您不会有出息,不过您那高尚的感情会挽救您。但愿这些感情在您身上成熟并且巩固下来。”这位不苟言笑的老师还以激动的拥抱,将他的革命热情和自由主义信念传导给这位14岁的贵族少年。 这段故事,是赫尔岑《往事与随想》中最吸引我的一节,但每次读后,我都禁不住有点后怕。倘使这位老师是个怯弱而又世故的人,他对赫尔岑的倾诉不予理睬;倘使他是一个愚昧而又迂腐的人,按着官方立场来解说那场起义和镇压,用官方意识对赫尔岑的高贵激情给予挫伤和清洗,那么,还会有后来的赫尔岑吗?倘若雷列耶夫、别林斯基、车尔尼雪夫斯基、米海依洛夫斯基、涅恰耶夫、托尔斯泰、巴枯宁、克鲁泡特金、陀思妥耶夫斯基、普列汉诺夫等人在其成长道路上不曾得到这样的鼓励和支持,他们作为革命家和文化英雄的形象还能站立得起来吗?而没有这些人的挺立和闪耀,俄罗斯的19世纪究竟还有多少光彩可言呢?赫尔岑的这个故事,让人不能不对领袖与人民的关系有所领悟。领袖不只是代表人民,而且的的确确是由人民培养出来的。有什么样的人民就会有什么样的领袖,从而也就有什么样的民族和社会。在这个意义上,被赫尔岑称为“老布肖”的那位目睹过法国大革命的老师不仅造就了赫尔岑,还造就了俄罗斯。19世纪的俄罗斯之所以那样奇光异彩,令人景仰,其决定因素究竟是什么?我们平时总是将注意力集中在上文所列的那些显赫人物身上,但是在读《往事与随想》的时候,我的目光不知不觉中就投向了那些普通人,那些从来不被看作英雄的、既无人为之建造铜像、也无人为之开设纪念馆的普通人身上。 亚历山大一世时期,艺术院长以阿拉克切夫伯爵离皇上最近为由,提名他作名誉院士,艺术院秘书反驳说:“要是这个理由站得住的话,我就推荐马车夫伊里亚·巴依科夫为院士,他不单离皇上最近,还总是坐在皇上前面。”拉勃津秘书虽因此遭到流放,却捍卫了艺术的尊严和自己的良心。亚历山大一世的弟弟尼古拉(后继位为皇帝,正是他绞杀了十二月党人5位领袖)有一次想来点粗鲁行为显显威风,要抓一位禁卫军军官的衣领,军官沙莫依洛夫伯爵威严地说:“殿下,我的佩刀在手里呢!”一语将尼古拉击退。莫斯科要塞司令斯塔阿尔将军受命主审赫尔岑等人一案,他在审读案卷后这样向皇上直陈己见:这些青年人是清白无罪的,侦讯委员会所做的事情是极不光彩的,我不能为此违背自己的良心,玷污自己的满头白发。他愤然退出侦讯委员会,事后还一直为这群青年人的厄运耿耿于怀,上书尼古拉要求释放他们。试想,如果换成另一个民族的将军或坦克手,情形将会怎样呢?而如果失去了赫尔岑,正如我们所知道的,俄罗斯革命史和俄罗斯思想史都将是断裂而又残缺的。看一下沙皇枢密院总检查官祖布科夫的书房也许是十分有意思的。赫尔岑写道:“他的书房里挂满了所有革命名人的肖像,从汉普登和伯伊到菲艾斯基和阿尔芒·卡列尔。在这个革命圣像壁下方有一个完备的禁书库。一具骷髅、几只鸟标本、几只制作过的两栖动物和若干保存在酒精里的动物内脏——它们给这间气氛非常热烈的书房加上一种思考和研究的色彩。”这位大臣的书房所表现出的现代气息和人文气息,与《祝福》里鲁四老爷的书房实在大异其趣。 在《萨哈林旅行记》中,契诃夫这样描绘这个流放之岛和监狱之岛的岛区长官科诺诺维奇将军:“谈吐高雅,文笔优美,给人的印象是一位诚挚的、充满人道精神的人。”一位少校典狱长冒着生命危险,从傍晚到凌晨两点一直巡游海上寻救一位被波浪卷入大海的苦役犯的故事,契诃夫记述得更加详备。上述这些人,无论是艺术院秘书还是禁卫军军官,无论是要塞司令、岛区长官、典狱长,还是总检查官,他们无不表现出强烈的尊严意识和人道主义倾向。他们即使身居要职也改变不了沙皇政权的专制体制和非人性质。但他们以自己良好的人文素质和历史良知,在国家机器与历史要求、民族利益、革命思想之间构成了一种弹性,正是这弹性使得新思想新力量不但未遭毁灭,反而勃然发展。这些官员作为人民的一部分,实际上可以看作是反对他们的那些思想家革命家的精神资源和社会基础。即使是亚历山大一世这样的沙皇,面对着日趋强盛的革命团体和思潮,也一直在观望和思索,而不让他的僚属举起屠刀,他表现出强烈的历史良知。在处死普加乔夫之后,俄国实际上废除死刑达50年之久,这为培养人道主义精神和生命意识开辟了一片政治空间。可以说,俄罗斯思想家革命家只是把深蕴在人民心中的心理倾向明白地表述出来并担当起来。他们在政治上是沙皇和将军和大臣的敌人,但在人文素质和人道倾向上,敌对的双方却是颇为相近的。 十二月党人起义被镇压以后,俄罗斯社会一度出现了严重的政治黑暗和道德堕落。可是这个民族对于正义事业的崇仰和对于英雄人物的热爱还是以某种方式表达了出来。赫尔岑带着深深的敬意写道:“那些给判处苦役的流放人的妻子被剥夺了一切公民权利,抛弃了财富和社会地位,动身到西伯利亚东部去,一辈子忍受那里可怕的气候,和当地警察的更加可怕的压迫。姐妹们没有权利到她们的哥哥或者兄弟那里去,她们就退出宫廷,过着隐居生活,许多人离开了俄国;几乎所有妇女的心里都保留着对那些受害者的热爱……”特鲁别茨卡雅公爵夫人第一个动身去西伯利亚,追随着她的英雄丈夫并死在那里。法国姑娘唐狄在巴黎得悉昔日情人伊瓦谢夫被判流放西伯利亚,立即来俄国要求去西伯利亚与情人结婚。尼古拉一世虽甚感恼怒,终于还是同意了她的请求。这对年轻的情侣后来双双死在苦难深重的西伯利亚。赫尔岑的记述使我想起后来车尔尼雪夫斯基的两件事。在给车尔尼雪夫斯基执行象征性死刑的刑场边上,一位少女把一束鲜花递给了这位囚徒。在随后奔赴西伯利亚的途中,一位马车夫用这样的话跟车尔尼雪夫斯基告别:“谁拥护人民,他就被流放到西伯利亚去,这一点我们早就知道。”俄国革命家能在流血牺牲的同时享受到如此伟大的幸福,真叫人妒羡不已。这些精神巨人最需要的并不是世俗的功德圆满,而恰是这种被理解,这种在精神上与世界的联系和沟通。他们因为有了这样的人民而伟大,也因为有着这样的人民而幸福。 而在另一个民族,情形则远不是这样。像邹容、陈天华、秋瑾、徐锡麟这样的人,既没有赫尔岑那样丰厚的精神资源,更没有特鲁别茨卡雅公爵和车尔尼雪夫斯基式的安慰和幸福。他们永远遇不到老布肖那样的老师、要塞司令那样的办案者、少校典狱长那样的官员、特鲁别茨卡雅夫人那样的家属、马车夫那样的老百姓等。秋瑾的叔父就是她的告密者,她死后不但没有得到鲜花,而且被老百姓吃了她的鲜血,徐锡麟更是给办案者分吃了心肝。1978年,当李九莲那颗决不放弃思考的头颅倒在血泊中时,她的同时代人都在准备着高考,甚至没有一个人听见枪声。在她漫长的囚徒生涯中,家里没有一个人来看过她一次,没有一个人送过一次饭、一次衣。而她的厄运最初的起因,竟是她的男朋友的出卖。在中国绵延不绝的政治运动中,互相揭发、互相诬陷、卖友求荣、卖亲求荣的现象是如此普遍。一个人只要受到权力的敌视或迫害,几乎马上就要从社会结构和伦理关系中开除出去,谁也不敢拜访你,谁也不敢跟你打招呼跟你握手跟你聊天,谁也不敢给你写信,谁也不敢喊你为老师为同志为父亲为叔叔。虽然还有人谈到你,但那是按着官方口径进行诬陷和诽谤,也许还有人来敲门,但那是为了宣布跟你划清界线。难怪鲁迅吞吞吐吐地说,他没敢说出全部的真话,因为他还要在这社会中居住。他不敢真的被这社会和伦常所开除。鲁迅绝非多虑。一位因在庐山讲了几句大白话而丢官的政治人物,很快就被自己的妻子从家里开除了出去。在中国想做一条好汉,确实比别国更难。鲁迅曾感叹中国的监狱比别国的难坐,实际上何止如此。对于一位优秀人物来说,中国生活的千万个环节中,每个环节都杀机四伏。中国社会对于优秀人物怀着本能的仇恨和恐惧。顾准的遭遇很能说明问题。顾准受到迫害后,他的妻子绝望地自杀了。子女宣布与他断绝亲缘关系,还逼着顾准签字同意。他的老母亲住在妹妹家里,可因为妹婿是官场中人,为了照顾官员的前途,这对同住一城近在咫尺的母子终生不得相见。顾准拖着病体,蜷曲在孤室寒窗之中,形单影只地写着那些先知般的文字。他一再要求与子女恢复关系,均遭拒绝。他只能从别人那里收集子女的照片,以此寄托他的慈父之情。他临终的时候,又一次吁请子女“宽恕”他(倒好像他真有什么罪过似的)并来看看他,自然是又一次遭到拒绝。无休的政治迫害,无穷的精神凌辱,无限的感情折磨,这就是一个文化英雄的境遇和结局。如果他的母亲来给予抚慰,妻子来给予照顾,兄弟姐妹们来给予帮助;如果他的子女来为他骄傲,他的朋友来与他切磋,我相信这个顾准一定可以写出更加坚定、彻底的文字,也许当我们回顾“文革”时,就可以因为有了一位精神巨人和文化英雄而感到骄傲和安慰。然而,顾准终于没有得到这样的幸运,这个民族终于没有得到这样的幸运,因为这个民族像他的子女一样,一直在遗弃着他、拒绝着他。直到他逝世20年之后,《顾准文集》才在中国一个最偏僻的角落里勉勉强强问世。 我们平时谈论那些优秀人物时,常说他们“孤胆”、“孤勇”、“仅仅凭着个人就敢于与整个世界对抗”,其实这都是片面而又夸张的说法。优秀人物自己也爱作如是说,那更是饱含愤激之情了。有恃才能无恐,谁能够在精神上无所凭依就自然地强大起来呢?越是精神强大的人,越是需要拥有最丰厚的精神资源。一个巨人不但需要通过研读典籍占有历代前贤的精神财富,不但需要通过研究人性和社会来把握人性的需要和历史的走向,他还同时需要周围那些有血有肉的人的理解、支持、温暖、尊敬、鼓励,他需要从这样的心灵交流中得到勇气和力量。如果没有这些条件,再伟大的人也会枯竭夭亡而无从成其伟大。在这样的意义上,任何一个伟大的人都是凭着他的族群并代表他的族群成为伟人的。所以,那些产生了巨人的民族必是像巨人一样可敬可仰的民族。 1827年的某个黄昏,15岁的少年赫尔岑和他的朋友奥加略夫郊游来到了莫斯科旁的麻雀山上。太阳正在徐徐西沉,圆屋顶闪闪发光,美丽的莫斯科铺展在山下一望无际的地面上,清新的微风迎面吹来,诗意盎然。这对少年想到了全人类的命运和幸福,想到了俄罗斯的现状与未来。他们意识到了自己的灵魂的纯洁与高尚,意识到了自己是命中注定应该担当大任的优秀人物。他们站在夕阳微风之中,互相依靠,突然间热烈地拥抱起来,他们对着伟大的莫斯科发誓,一定要为自己的使命奋斗到底,直至献出生命。在后来的岁月中,俄罗斯人民果然将赫尔岑造就成了一代巨人。这位巨人的力量,正如我们所已经知道的,不仅来自十二月党人的鲜血和老布肖的祝福,也来自要塞司令斯塔阿尔将军的理性与公正,还来自追随丈夫流放到西伯利亚去的妇女们和对革命家表示尊敬的马车夫们,甚至还来自亚历山大一世对起义前的十二月党人的理解、宽容与尊重。一句话,他的力量来自全体人民的人文理想和整个民族的历史良知。中国的优秀人物却不曾得到赫尔岑式的条件和幸运,无论是谭嗣同、陈天华、秋瑾、徐锡麟,还是李九莲、遇罗克、王申酉、顾准,他们无不在缺乏精神滋养和力量源泉的绝境中无望地死去。中国要想诞生真正的精神巨人,遥矣远矣。

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My college life I

本文作者是中国地质大学武汉校区的一个学生. 成文至少十二年前. 我的大学时代 引子 寒假在家,一人去那久违的田野。似乎就是伸手可及的地方,蓝天缓缓的伸展。脚下的路,就在田野里蜿蜒而远去。顺着望,一片麦绿色中,几处消瘦的身影,便是冬日中静默的白杨树了。再远处,地是愈加平坦的。隐约一条公路上,似乎有着车子奔跑的淡影,是驰向外面的世界么?放眼量,却是天地交汇之处了…… 喜欢这开阔的视野,喜欢在这样的环境中散步。缓缓的走着,随意的行与止,生活里那能得如此惬意时刻?又欲想起南国近四年的生活,我欲结束的大学生活…… 初识武汉与东湖 除了山东老家的一望无际的田野,我最喜欢的散步处,就是武汉的东湖岸边了。从我的学校出发,若是翻南望山,只需经过一个小村庄就可到猴山旁,便见东湖水波渺渺,偌大伊人胸怀…… 可想三年多前,一人郁郁前来武汉,可曾想到如此的好处? 的确是没有的。人生总是不尽如意的;我最喜欢阿甘母亲的那句话,人生就像一盒巧克力,你永远不知道你将要吃到的是什么味。那时一志愿落空,档案被提到了武汉,情绪很低落。加上些其它的不如意,父亲说要到武汉送我,我拒绝了:近乎赌气般的,我一个人挤汽车、挤火车来到了武汉。 最近父亲常常叹气,当初未能送儿子去学校,没有一起去武汉分享这份荣耀,儿子竟上大学了,却没有到儿子读的大学去过一次,老人总是忍不住叹气。一个农村老人的心,我觉得我比以前更能理解了,这或许就是身受高等教育的好处。渐渐的,我也觉得自己当初太任性了,竟为什么不悄悄的完成父亲的心愿?那在老人回忆起来将是多么大的一份安慰与自豪哦~~~父亲可是到现在还一样的口气,想见见我的母校,想见见长江大桥,然后就回来…… 哦父亲,我似乎就觉得武汉慢慢的溶入了我的生命中了,我喜欢这山山水水,喜欢东湖浩淼,喜欢大江茫茫……我一定要带您来武汉,看看儿子读书的地方,看看儿子喜欢的地方。 但初识武汉的时候,却不是这个样子。 我走下火车,随旅人的洪流出了武昌站,找到学校接学生的大巴。车上都是学生与家长,我晕车,坐在自己包上,忍耐着,又木讷的从人群中看车外的武汉。感觉那时的武汉怎么如此又脏又旧呢,特别是进鲁巷,这一带还没有改造,真像到了县城。待下车,我已经不辨方向了,结果在学校的几年就几乎没有过正确的方位感。 当时学校的东区还很荒凉的样子,没有大草坪和化石林。西区也没有整修,到处是纸片和飞舞的塑料袋。大操场是灰土飞扬,教学楼很陈旧的样子。现在学校环境还算差强人意,都是后来迎接校庆时做的。安排好住处,休息过了,我就跑出来:我想找到我的大学可爱之处。可是除了图书馆前面的化石觉得有点大学的味道之外,竟再也没有别的了。我说不出的失望。 或许你觉得我有点怪口味是吧?中学生都会对大学有一定的憧憬,我心目中的大学,那时也就是两条,其一是环境有味道,其二是有大师。但看环境,我的梦想似乎就摇摇欲坠了。 可是后来一次偶然的机会,和一个老乡去看东湖。 当时翻山到那里的时候,一开始便是现在八一游泳馆那个地方,东湖的一角,还是石头砌的岸,有的都翻了起来,潮湿的冒着水腥气,当然还没有游泳馆的影子。其外还拉着锁链,下面杂草丛生的。现在是个很好的玩的地方,尤其是在夏天。不过那时还是很兴奋的。跳跃着钻过锁链,站在东湖岸边,迎着水面吹来的风,享受着从来没有过的开阔的水。看浅浅的水浪涟涟而来,从远方向脚下漂着,偶尔又向湖畔扑着,让人撞了一怀一脸的湖水的味道儿,让人不自禁无忧无虑,让人胸襟开阔…… 岁月也是一道滚滚不息的大水吧,但遥望她,又有几个有如此感觉的?忽然就觉得我的幸运,来到武汉,东湖便自然走进了我的生命。我本胸中郁郁千万结,一个有着诸多不足的年轻人,终于来到了他的大学,来到了他的熔炉;竟还赐于他东湖…… 近四年大学过去了,我在东湖岸边常常一人静静的走。不知从何时起,就习惯上怀着一种感恩的情怀了。然而我的确接受这个世界太多的恩惠,虽然或许过去年轻而不知…… 大学的学习生活 大学里也几乎没有让人激动的大师。 这是我对大学的第二个印象,随着军训的结束,这个印象慢慢的加深。从辅导员讲话,竟然是你们若考不好成绩就对不起家长的发言,到后来绵绵无味的讲书的老师,我只觉得心里越来越失望。 我想我是有代表性的。我的学校,保守的说是个重点大学,应有中等程度。所以我想一定有很多大学生,也有类似的心理经历。 记得当时就觉得辅导员的可笑,虽然没有阿Q从城里归来笑未庄人那样的尽心。 一开始就觉察出了这儿是个错误的文化氛围。辅导员不是尽力引导学生使之具有独立之精神,不是告诉他们这个世界何等美好,让他们拥有他们本该拥有的开拓激情,或者面对困难的决心与勇气,与智慧,不是让他们学会面对罪恶而不失善良,拥有善良而不软弱,辅导员从来不做这些事。他们在忙什么呢?在忙幼儿园阿姨在忙的事,他们觉得自己无须思辩就是对的。 那时我总是觉得一定有些地方出了问题。可我说不出。这么大一个系统,怎么能道的明呢?课程的老师讲的课大半毫无味道,青春岁月又没有了激情与信仰,我的大学,遇到的第一个问题就是,我迷失了。 不得不说一说学校的课程与老师。 我是学工科的,计算机科学与技术专业。坦白讲,学校的授课计划还是经过论证的,那一系列的课程名称,大部分都是比较重要的。可是饮料的标签,与饮料本身的味道,又有什么关系呢?都是清茶,不同的茶馆泡制出来的,味道是天壤之别。现在的大学,的确失去了泡茶的好传统。 后来经历的老师多了,就悄悄的把大学的老师分为三类。 …

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2015 summer math camp for high school students, PKU

第二届“北大中学生数学奖夏令营” 已于 8 月 15 日至 8 月 19 日在北京大学举办. 10 个考试题目不错, 虽然陈题特别多. 主要是为了最后的那个题, 才来写这个解答. 1.  一椭圆和双曲线有公共焦点, 双曲线上一点沿该点切线方向射出一条光线. 求证: 这条光线经椭圆反射后与双曲线相切. 椭圆 \(C_1\) 与双曲线 \(C_2\) 有相同的焦点. 点 \(P\) 在 \(C_2\) 上, 且 \(A\) 在 \(C_1\) …

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Jordan normal form I

本文作者 xida Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理,专门为它写一篇长文好像有点多余:这方面的教材讲义实在是太多了!一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢? 理由有两个。第一个原因是我曾经在给学生讲这个定理的时候,突然发现不知道该怎么启发学生为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法,照念几个不在话下,但是感觉有点疙疙瘩瘩的:怎么才能说清定理背后的想法,让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢?于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。 第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的,而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形,这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我们从中学就知道整数环和多项式环有唯一因子分解定理:每个整数可以唯一地分解为素数的乘积,每个(域上的)多项式可以唯一地分解为不可约多项式的乘积。在数学里面有很多这样的唯一分解定理,而我们现在想知道:有没有所谓的 “线性变换的唯一分解定理” 呢?可以猜测如果有这样的定理存在,那么大概可以表述为如下的样子: 线性变换的唯一分解定理(粗糙的版本):设 \(V\) 是域 \(F\) 上的有限维向量空间,\(A\) 是 \(V\) 上的线性变换,则 \(A\) 可以唯一地分解为若干个 “简单的” 线性变换的组合,而且这些 “简单的” 线性变换本身不能再分解。 这个表述很不清楚,整数和多项式的分解就是表示为因子的乘积,那么什么是线性变换的分解呢?什么又是不可分解的线性变换呢?正确的概念是直和: 设 …

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It is also a groundless rumour that Chinese middle school students have an advantage in math

最近有英国 BBC 拍摄的“中国式教学” 纪录片”Are Our Kids Tough Enough? Chinese School”, 引发了热议. 美国奥数队主教练冯祖鸣: 中国学生数学优势止于中学. 熊斌: 美国孩子数学糟糕是讹传 我想说, 中国学生数学在中学有优势其实也是讹传! 流传很远的说法”中国的基础教育强于英美”, 其实错误非一般的离谱. 熊斌道出了事实. 经常看到一些比较中美两国教育的讨论. 这有什么可以讨论的? 中美两国谁更发达?! 比较中美两国教育谁优, 就好比探讨中美两国谁更发达一样的没有意义!! 英国想借鉴中国的教育, 是做很大的无用功. 英美国家要做的是避免变成中国. 如果说中国的学校有用, 可能对平庸的学生有效. 杨振宁的评语应该算是部分的准确. 但, 我这里的意思, …

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Yitang Zhang’s talks in the summer of 2015 in Beijing

这个炎热的七月, 张益唐回到了北京, 在他的母校北京大学和晨兴数学中心做了几次讲座. [Distinguished Lecture] Small gaps between primes July 20, 2015 15:00-16:00, 镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅 Abstract: The twin prime conjecture states that there are infinitely many pairs of distinct primes which differ …

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IMO 2015 solutions III

第一篇文章有 Problem 3 的几个证明. 第三个证明利用了调和四边形的一些很基本的性质. 第五个证明,  \(M\) 是三角形 \(HYK\) 的外接圆的切线的交点以及 \(F\) 是 \(HY\) 的中点这两件事导出 \[\angle MKH=\angle YKF.\] 这是需要证明的, 并不容易. 不过, 这个结果已经很流行了. 田廷彦在他的”圆”的第三讲有一个例题对锐角三角形的情形给出了两个证明, 但都不能让人满意, 因为都用到了三角函数. 虽然这些知识不是参加竞赛必须掌握, 但如果参赛者想在考场上取得好的分数, 应该不仅仅是记得一些常用的结论, 还要对证明也很熟练.

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