Power, Simplicity and Beauty
蝴蝶定理(Butterfly theorem)算得上是平面几何的一个有名的结果, 可是这定理却委实没什么用. 为了方便证明的行文, 先把几个字母交待一下: \(K\) 是 \(\odot O\) 的弦 \(AB\) 的中点, 过 \(K\) 作圆的两条弦 \(CD\) 和 \(EF\). \(AB\) 分别交 \(CE\) 和 \(FD\) 于 \(M\) 和 \(N\). 那么, \(KM=KN\). 在数学竞赛吧看到了两个证明, 使用根轴(Radical …
Butterfly theorem and Radical axis Read More只聊第 \(3\) 题. 这个题读起来有点费劲, 其实游戏的两方, 兔子和猎人, 都没有任何办法保证距离一定能多长或多近. 换句话说, 不管兔子和猎人如何行动, 兔子与猎人的距离是可能无限大也可能任意小. 这个问题要证明的结论就是: 不管猎人如何行动, 兔子有一个可能成功(而不是一定成功)的策略使得猎人的办法无效. 下面来证明这一点: 每一回合不管猎人如何行走, 兔子有一个行动方案, 在定位设备反馈某些点的情况下, 可能(而不是一定)使得与猎人的距离要多大有多大. 新加坡的 Jeck Lim 给出了一种漂亮的解法. Jeck Lim 很不得了, 是一个仙才哦, 他代表新加坡 5 次挂帅出征 IMO. …
IMO 2017 solutions II Read More2017 第 58 届 IMO 解答 Problem 1 (South Africa) Lemma 1 当实数 \(x\geqslant6\), 则 \(x\lt(x-3)^2\). Lemma 2 若整数 \(m\) 符合 \(m \equiv 2\pmod3\), 则 \(m\) 不能是完全平方. 若数列 \(\{a_n\}\) 的某一项 \(\gt1\), …
IMO 2017 solutions Read MoreDay \(1\) Tuesday, July 18, 2017 Problem 1. For each integer \(a_0\gt1\), …
IMO 2017 Brasil Read More试题来自贴吧 这里转一下贴吧网友 1a2b03c 给出的题 6 有关的一个关键, 这网友水平挺高的 \(\alpha\), \(\beta\) 都是无理数, 邓煜的看法: 最后那里可以不用极限来说. 只要证明对任何 \(c\gt0\), 存在 \(n\) 使得\(\{n\beta\}\) 属于 \((b_3, b_4)\) 且 \(\{n\alpha\}\lt c\) 即可. 假设不然, 由引理 3, 取 \(n^\prime\) 和 \(n^{\prime\prime}\) …
2017 China IMO team selection test 2 Read More北京时间 25 日下午举行的硕士研究生初试的高等代数与解析几何 Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2 试题来自博士论坛
Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2 Read More