Author: zyymat

college mathematics competition

Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1

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北京时间 25 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析 1.(10分) 证明: \(\lim\limits_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.\) 2.(10分) 证明: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }\) 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 \(\alpha \gt \frac12\). 3.(10分) 设\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 证明 \(\lim\limits_{s\rightarrow 0+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\). 4.(10分) 称 \(\gamma (t)=(x(t),y(t))\)(\(t\in …

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mathematical olympiad

2016 Chinese Mathematical Olympiad(CMO)

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第 32 届中国数学奥林匹克 湖南 长沙 第一天 (2016 年 11 月 24 日    8:00–12:30) 1. 数列 \(\{u_n\}\), \(\{v_n\}\) 满足: \(u_0=u_1=1\), \(u_n=2u_{n-1}-3u_{n-2}(n\geqslant2)\), \(v_0=a\), \(v_1=b\), \(v_2=c\), \(v_n=u_{n-1}-3u_{n-2}+27v_{n-3}(n\geqslant3)\). 已知存在正整数 \(N\), 使得当 \(n\geqslant N\) 时, \(u_n\mid v_n\). …

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math.AG

John ellipsoid

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本文作者 Zilin Jiang 对于一个三角形 \(T\), 一定可以找到一个椭圆 \( E\), 满足 \(E\subseteq T\subseteq 2E\). 对于一个平行四边形\(P\), 一定可以找到一个椭圆\( E^*\), 满足 \( E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*\). 由于在仿射变换下三角形, 平行四边形, 椭圆, 线段比例都保持, 所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了. 实际上, John定理断言, 每一个\( n\) 维凸体\( K\) 都有一个相应的椭球 \(E\) 满足, \(E\subseteq K\subseteq nE\). 对每一个中心对称凸体 \( C\), 都有一个相应的椭球 \( E^*\) 满足 \( E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*\). 为了证明John定理, 我们需要引入 …

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math.NT / number theory

\(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals

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集合 \[\{\sqrt n|n\in\Bbb N\; \text{is Square-free integer}\}\] 在有理数域上线性无关. 这其实是非常古老的问题, 早已经有很一般的结果. 先厘清无平方因子整数Square-free integer这个概念: \(1\) 到底是不是无平方因子整数? wiki 给出的定义是: 不被不是 \(1\) 的完全平方整除的整数称为无平方因子整数. 因此, \(1\) 算无平方因子正整数. 鉴于此, 我们认为: 无平方因子整数定义为”不被质数的平方整除的整数”更为恰当. 下面的证明来自 Iurie Boreico 的文章 Linear Independence of Radicals. …

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mathematical olympiad

IMO 2016 solutions II

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这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成. 以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序, 因此, \begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation} 既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是 …

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