Bernoulli’s inequality
Bernoulli 不等式 设 \( x \geqslant -1\) 为任意实数, \( n\in\Bbb N^+\), 则有 \[ (1+x)^n \geqslant 1+nx, \] 成立, 其中当 \( n>1 \) 时等号成立的充分必要条件是 \( x=0\). 注意: Bernoulli 不等式对 \( x …
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Step to IMO 2012
走向 IMO 数学奥林匹克试题集锦(2012) 出版 本书收集了 \(2011\) 年至 \(2012\) 年度中国数学奥林匹克的试题, 并对试题作详细地分析, 解答与评点. 试题包括: 全国高中数学联赛, 全国中学生数学冬令营, 国家队集训资料, 国家队选拔考, 女子奥林匹克, 西部奥林匹克, 东南地区数学奥林匹克以及国际数学奥林匹克等. 书名: 走向 IMO 数学奥林匹克试题集锦(2012) ISBN: 978-7-5617-9860-7/G.5837 出版社: 华东师范大学出版社 作者: 2012年IMO中国国家集训队教练组 装帧：平装 开本：32开 出版日期: 2012.9 定价: …
Step to IMO 2012 Read MoreWe should translate “Geometric Transformations IV: Circular Transformations” into Chinese
Geometric Transformations IV: Circular Transformations 应该有一个中文译本, 最主要的理由是: 这是一本非常精彩的书, 很经典; 读者主要是中学师生. 确实应该翻译这书, 姑且不论前三册已经有中文本, 只是因为内容太美好. 如果不是面对中学, 有个影印本就可以了. 重新出版的话, 最好是四册一起, 当然最重要是第四册. 前三册的翻译已经很好, 翻译第四册足以. 第四册的附录, 关于非欧几何(Non-Euclidean geometry), 是第三册附录的继续, 所以, 译者必须精通非欧几何. 或许, 我本人可以完成这个工作…
We should translate “Geometric Transformations IV: Circular Transformations” into Chinese Read MoreGeometric Transformations IV: Circular Transformations
I. M. Yaglom(Isaak Moiseevich Yaglom, March 6, 1921 – April 7, 1988) 的 Geometric Transformations 的第四册是 Geometric Transformations IV: Circular Transformations. Geometric Transformations (几何变换)是前苏联数学家 I. M. Yaglom 的经典著作, 内容分为三部分, 作两册出版: 前两部分为第一册, 第三部分为第二册. 美国数学会在 \(1960\) 年代的”新数学”运动期间, 出版了一套”新数学丛书”, 其中就有这本 Geometric …
Geometric Transformations IV: Circular Transformations Read MoreChinese Remainder theorem and the Quadratic Reciprocity Law
间接或者直接使用中国剩余定理(the Chinese remainder theorem)可以证明二次互反律. 间接使用, 意思是互反律的证明使用了某个定理, 但是这个定理的关键却在 CRT; 直接使用容易理解. Sey Y.Kim 在 The American Mathematical Monthly, Vol.111, Jan., \(2004\),\(48\)-\(50\) 有一个比较简洁的初等证明, 使用了 Euler的判别条件(Euler’s criterion)和由中国剩余定理导出的同余方程的一个结论, 可算间接证明的代表; 而 G.Rousseau, Tim Kunisty, Klaus Hoechsmann 的证明, 都是直接使用了 …
Chinese Remainder theorem and the Quadratic Reciprocity Law Read MoreThe Quadratic Reciprocity Law
If \(p,q\) are distinct odd primes, then \[\left( \frac pq\right) \left( \frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4},\] where \(\left( \frac{}{}\right)\) is the Legendre symbol. 这就是被 Gauss 称为”数论酵母” 的二次互反律. 自 Legendre 的那个没有完成的证明以来, 据 Reciprocity Laws: From …
The Quadratic Reciprocity Law Read MoreChanghai Lu’s book on the Riemann hypothesis has just been published
卢昌海谈 Riemann 猜想(Riemann hypothesis)的系列文章, 刚刚由清华大学出版社结集出版, 书名”黎曼猜想漫谈”. 从卢昌海动笔写第一篇谈Riemann 猜想的小文章, 到现在出版成书, 过去了八年仅仅差三个月. 在正式出版之前, 其内容已经在网络广为流传, 被很多人转载, 也被数学杂志连载刊登过, 影响巨大. 现在作为数学科普出版, 相信会促进科学的传播, 有助于大家了解这个数学中最重要的难题. 书名: 黎曼猜想漫谈 ISBN: 978-7-302-29324-8 出版社: 清华大学出版社 作者: 卢昌海 出版日期: 2012年08月 定价: 25 …
Changhai Lu’s book on the Riemann hypothesis has just been published Read MoreEuclidean algorithm and Fermat’s theorem on sums of two squares
Euclidean algorithm, 也就是常说的辗转相除法, 通过有限步骤来找出两个整数 \(a,b\) 的最大公约数 \((a,b)\). 具体说来, \(a,b\in\Bbb Z\), 我们假定 \(b>0\), 并记 \(r_0=a, r_1=b\). 据带余除法, 可有 \[r_0=q_1r_1+r_2,\quad 0<r_2<r_1, q_1=\left[\frac{r_0}{r_1}\right];\] \[r_1=q_2r_2+r_3,\quad 0<r_3<r_2, q_2=\left[\frac{r_1}{r_2}\right];\] \[\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\] \[r_{n-1}=q_nr_n,\quad q_n=\left[\frac{r_{n-1}}{r_n}\right].\] \(\left[x\right]\) …
Euclidean algorithm and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More