Power, Simplicity and Beauty
elementary mathematics
这里将在有理数域 \(\Bbb Q\) 中来考察 Fermat 的平方和, 慢慢走向椭圆曲线(elliptic curve). 首先指出, \(n\in\Bbb N\) 是否两个有理数的平方和, 与其是否两个整数的平方和, 是一码事. 定理 设 \(n\in\Bbb N\), 则下面两件事情等价: 存在 \(x,y\in\Bbb Q,\) 使得 \(n=x^2+y^2\); 存在 \(x,y\in\Bbb N,\) 使得 \(n=x^2+y^2\). 只要说明 \(1\Rightarrow2\) …
Hilbert symbol and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More质数 \(p=4n+1\), 那么存在 \( a,b\in\Bbb Z,\) 并且 \begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\end{equation} 使得 \( p=a^2+b^2.\) 这是 Gauss 在 \(1825\) 年的一个结果, 已经指出了适合 Fermat 平方和定理的唯一一对 \(a,b\): 由 \begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\quad a<\frac{|p|}2\end{equation} 可决定唯一的一个 \(a,\) 然后 \begin{equation}b\equiv …
Gauss’s construction on Fermat’s sums of two squares Read MoreZagier 的一句话证明(1990) 有限集 \(S=\{(x,y,z)\in\Bbb N^3|x^2+4yz=p\}\) 上的对合(Involution) \[f:S\rightarrow S,\quad (x,y,z)\mapsto\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z)\quad x<y-z;\\(2y-x,y,x-y+z)\quad y-z<x<2y;\\(x-2y,x-y+z,y)\quad 2y<x,\end{cases}\] 恰有一个不动点 \((1,1,\frac{p-1}4)\), 这意味着 \(|S|\) 为奇数, 从而 \(S\) 的另一个对合 \[g:S\rightarrow S,\quad(x,y,z)\mapsto(x,z,y)\] 必有不动点 \((x,y,z)\), 它满足 \(y=z\), 进而 \[p=x^2+4y^2=x^2+(2y)^2. \Box\]
Fixed point and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More奇质数 \(p\) 能表成两个正整数的平方和, 当且仅当 \(p\equiv1\pmod4.\) Fermat 的这个平方和定理, 非常简洁, 相当漂亮! 这是我见过最多证明的定理, 比质数无限性的证明都多! 先看一看以 Minkowski定理(Minkowski’s theorem)为工具, 来给出Fermat定理的证明. 这个证明, 是 \(20\) 世纪才发现的. 我们从 Minkowski 的一个结果开始, 尽管看起来似乎和Fermat的平方和定理没有关系. 定理(Minkowski) \(a,b,c\in\Bbb Z, a>0,ac-b^2=1,\) 那么方程 \(ax^2+2bxy+cy^2=1\) 有整数解. 证 这定理其实仅是华罗庚的数论导引定理\(20.1.4\) …
Minkowski’s theorem and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More\(n\in\Bbb N^+\), then \begin{equation}\prod_{(i,n)=1}i\equiv\begin{cases}\,-1\pmod n,\quad n=2,4,p^\alpha,2p^\alpha\\\quad1\pmod n, \quad \text{otherwise}\end{cases}\end{equation} 这里 \(i\) 跑遍 \(n\) 的缩系. 这是 Gauss 在 DA.\(78\) 给出的 Wilson 定理(Wilson’s theorem) 的推广. \(2,4,p^\alpha,2p^\alpha\) 有原根, 此种情况下, 可以给出简单的证明. 至于完整的证明, 我还没有找出满意的办法, 下面是一种途径: 先指出如下引理: \(n\geqslant2, n=2^e …
Wilson’s theorem Read More好多年前, 我看到过一个计算某年某月某日是星期几的公式, 一下子想不起来了, 只记得公式大概是什么结构, 有 “\(+\)”, 有 “\(-\)”, 等等. Google 了一下, 找出了这个公式, 现在写在这里, 做个档案. 公元 \(Y\) 年第 \(D\) 天是星期几, 即是 \[W=Y-1+\left[\frac{Y-1}4\right]-\left[\frac{Y-1}{100}\right]+\left[\frac{Y-1}{400}\right]+D\] 模 \(7\) 的余数. (这里 \(\left[x\right]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数) 比如, …
What day of the week is it? Read More薪尽火传 “算术研究”中文版出版 Gauss 的经典传世名作, “算术研究(Disquisitiones Aritmeticae)”, 的中文版本, 已由哈尔滨工业大学出版社出版, 不过书的名字不是”算术研究”, 而是”算术探索”. Gauss 一生贡献众多, 以数论(Number Theory)中的这本”算术研究”, 以及微分几何(Differential Geometry)中的 Egregium theorem, 影响为最大. 这本书是 Gauss 于1801 年夏天出版, 全书用拉丁文(Latin)写成, 并且是最晚的使用学院拉丁文(scholarly Latin)写就的数学著作之一. 全书分为七个部分 \(335\) 篇, …
The Chinese edition of Gauss’s book “Disquisitiones Aritmeticae” has been published Read More\(m\in\Bbb N^+,a\in\Bbb Z,\) 并且 \(( a, m ) = 1\), 则一次同余方程 \[ax\equiv b\pmod m\] 有唯一解 \(\dfrac ba\). \(\dfrac ba\) 只是一个形式分数, 并不是我们需要的真正答数. 那么, 如何通过这个分数找出真正的解呢? 我没有看到什么书来系统论述这个问题. 单墫在他的大部头著作”数学竞赛研究教程”介绍中国剩余定理的时候, 在一个例题的解答里, 简略的提到了下面的变换 I 与 III. 人民教育出版社的新版普通高中课程标准实验教科书中, …
Congruence equation and transformations Read More