Power, Simplicity and Beauty
2013年3月12日第54届 IMO中国国家集训队开幕式在江苏省无锡市的江阴南菁高级中学举行. 本次集训为期二周, 通过集中培训和二次测试及一次选拔考试共 6 场考试, 从64名本届国家集训队队员中选拔出 6 位队员, 组成今年国家队. 第一天 2013年3月13日上午 8:00-12:30 1. 如图, 设四边形 \(ABCD\) 内接于圆 \(\omega\), \(AC,BD\) 交于点 \(F\), 延长线段 \(BA,CD\) 交于点 \(E\), 设 \(F\) 在 \(AB,CD\) 上的射影分别为点 \(G,H\), 点 \(M,N\) 分别为线段 \(BC,EF\) 的中点. 设 \(\triangle MNG\) 的外接圆与线段 \(BF\) 有唯一交点 \(P\), \(\triangle …
China IMO 2013 team selection test 1 Read More下面的定义在多值函数中起着重要作用: 定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设 1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上; 2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\); 3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\); 4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化; 5) 沿着曲线 \(\gamma\) …
Complex analysis 2: Variation of argument, fundamental theorem of algebra Read More今年的 Romaniann 大师杯数学奥林匹克于 2013 年 2 月 27 至 3 月 3 在 Bucharest 举行. 这大师赛, 是比 IMO 还难的数学竞赛, 哇咔咔 Romanian Master of Mathematics Competition 2013-Day1 Romanian Master of Mathematics Competition 2013-Day2 Romanian …
The Romanian Master of Mathematics Competition 2013 Read More到底什么是 \(\sqrt{-1}\)? 它存在吗? 要回答这些问题, 我们先要搞清楚: 何谓数学中的”存在”？ 数学中的存在性 我们从非欧几何说起. 非欧几何还会在后面被提及. 欧几里得的”几何原本”出现以后, 第五公设一直被众多数学家广为诟病. 很多人希望用前四条公设证明平行公设, 但不能成功. 这样经过长达 2000 年努力后, 数学家开始尝试另外的道路. 1820年代, 罗巴切夫斯基用一个和平行公理矛盾的命题来代替第五公设, 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统, 展开一系列的推理, 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思, 但在逻辑上不矛盾的命题. 这种几何是为罗巴切夫斯基几何. 从罗巴切夫斯基创立的几何学, 得出一个极为重要的, 具有普遍意义的结论: 逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学. 现在我们可以说: 数学中的存在性, 指的就是逻辑上的无矛盾性. \(\sqrt{-1}\)的合理性 这个问题的答案, 其实就在 Ahlfors 的经典名作 …
Complex analysis 1: What is \(\sqrt{-1}\)? Read More从今天开始, 我们将有一系列的关于复分析(Complex analysis) 的笔记, 首先当然是单复分析. 单复分析是数学系本科生的一门必修的基础课. 复分析在数学的核心地位, 毋庸置疑! 现代数学, 无论多么显著的成就, 都可以在复分析找到其思想的源头. 学复变之前, 最好是懂那么一点抽象代数, 点集拓扑, 哪怕一点点双曲几何. 自学的话, 也许不可得其神韵! 单复分析 = Cauchy- Riemann 方程 Cauchy- Riemann 方程是一个偏微分方程组. Cauchy 标志一个时代的结束, 而 Riemann 则预示新时代的开启! 这句话形象的表达了复分析在数学的地位! 三个大师的复分析 Ahlfors, Complex Analysis Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic …
Complex analysis 0: Books Read More假定 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 是 \(n\) 个实数, 其 \(k(0\leqslant k\leqslant n)\) 阶对称和为 \[\sigma_k=\begin{cases}1& k=0\\ \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\dotsb<i_k\leqslant n}a_{i_1}a_{i_2}\dotsm a_{i_k}&1\leqslant k\leqslant n\end{cases}\] 显然, \(\sigma_k\) 就是多项式 \(\sum\limits_{i=1}^n(x+a_i)\) 中 \(x^{n-k}\) 的系数. 我们定义这 \(n\) 个数的对称平均 \(d_k(0\leqslant k\leqslant n)\) 是 …
Newton’s inequality Read More一. (1) 显然 \[\angle CAE=\angle CBE=\angle DBF=\angle DAF,\] 结合 \(l_1\) 是 \( CD\) 的中垂线, 可得 \(l_1\) 是 \(\angle EAF\) 的角平分线, 这揭示 \(l_1\) 与 \(l_2\) 必有公共点. 因为圆 \(K_1\) 与 \(K_2\) 半径不相等, 因此 \(l_1\) 与 \(l_2\) …
Solutions to Chinese Mathematical Olympiad(CMO) 2013 Read More2013 年中国数学奥林匹克 第一天 2013 年 1 月 12 日 8:00-12:30 辽宁 沈阳 一. 如图, 两个半径不相等的圆 \(K_1\) 与 \(K_2\) 交于 \(A, B\) 两点, \(C, D\) 两点分别在\(K_1, K_2\) 上, 且线段 \(CD\) …
Chinese Mathematical Olympiad(CMO) 2013 Read More