第五届全国大学生数学竞赛决赛试题和官方解答. 数学专业决赛从本届开始将分为“一二年级组”和“三四年级组”.
2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final(freshman and sophomore)
2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final(junior and senior)
2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final solutions(freshman and sophomore)
2014 the 5th China Undergraduate Mathematical Competition final solutions(junior and senior)
Yakov G. Sinai, Princeton University and the Landau Institute for Theoretical Physics, Russian Academy of Sciences, is being awarded the 2014 Abel Prize “for his fundamental contributions to dynamical systems, ergodic theory, and mathematical physics.” Sinai received the AMS Steele Prize for Lifetime Achievement in 2013 and is a Fellow of the AMS.
The Abel Prize Committee cites Sinai’s discovery of surprising connections between order and chaos and his development of the use of probability and measure theory in the study of dynamical systems. The citation continues: “His achievements include seminal works in ergodic theory, which studies the tendency of a system to explore all of its available states according to certain time statistics; and statistical mechanics, which explores the behavior of systems composed of a very large number of particles, such as molecules in a gas… Sinai has trained and influenced a generation of leading specialists in his research fields.” Among his other awards are the Wolf Prize in Mathematics (1997), the Nemmers Prize in Mathematics (2002), the Henri Poincaré Prize from the International Association of Mathematical Physics (2009), and the Dobrushin International Prize from the Institute of Information Transmission of the Russian Academy of Sciences (2009).
On behalf of the American Mathematical Society, it is a great pleasure to congratulate Yakov Sinai of Princeton University and the Landau Institute, recipient of the 2014 Abel Prize. Sinai’s work has changed our understanding of change; his influence can be seen from number theory to physics. Congratulations!
David Vogan, AMS President
The Abel Prize is awarded by the Norwegian Academy of Science and Letters and recognizes contributions of extraordinary depth and influence to the mathematical sciences. Awarded annually since 2003, the prize carries a cash award of NOK 6,000,000 (approximately one million US). Sinai will receive the prize at an award ceremony in Oslo on May 20. Read more about Yakov Sinai, his achievements, and the Abel Prize.
挪威科学与文学院 26 日宣布, 2014年度阿贝尔奖(Abel) 授予俄罗斯数学家雅科夫·西奈(Yakov G. Sinai), 授奖理由是“在动力系统、遍历性理论以及数学物理学方面所作出的卓越贡献”. 奖金约100万美元.
雅科夫·西奈1935年9月21日出生于莫斯科, 父母均是微生物学家. 他是俄罗斯科学院院士, 美国科学院院士, 美国艺术与科学学院院士. 他被认为是 20 世纪最具影响力的数学家之一, 曾获得沃尔夫奖, 狄拉克奖等.
1. 如图, 圆 \(O\) 为 \(\triangle ABC\) 的外接圆, \(D\) 为 \(\widehat{BAC}\) 的中点, \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心, 延长 \(DI\) 分别交 \(BC\) 和圆 \(O\) 于 \(E\) 和 \(F\), 过点 \(E\) 作 \(EP\parallel AI\) 交 \(AF\) 于 \(P\).
证明: \(IP\perp AI\).
2014 China IMO team additional test problem 1
2. 给定正整数 \(n\geqslant 3\), 求最大的实数 \(\lambda\), 只要正数 \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\) 满足
\[\sum_{i=1}^n a_i^2\lt\lambda\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2,\]
那么 \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\) 中任意 \(3\)个数均可作为某个三角形的三边长.
3. 给定一个凸多边形 \(F\), 考虑所有与 \(F\) 正向位似且比 \(F\) 小的图形. 设 \(n(F)\) 是用这样的图形 (允许平移, 不允许旋转) 覆盖住 \(F\) 所需的图形数目的最小值. 求 \(n(F)\) 的值.
4. 试求所有的正整数 \(n\), 使得存在正整数 \(a_1 \lt a_2 \lt \dotsb \lt a_n\) 满足: \(a_i+a_j\) (\(1\leqslant i \lt j \leqslant n\)) 互不相同, 且在模 \(4\) 意义下各余数出现的次数相同.
Which integers can be expressed as \(a^3+b^3+c^3-3abc\)? \(a\), \(b\), \(c\in\Bbb Z\).
\[(a\pm1)^3+a^3+a^3-3(a\pm1)a^2=3a\pm1\]
\[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3-3a(a+1)(a-1)=9a\]
\[2(a^3+b^3+c^3-3abc)=3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^3\]
If \(3\mid(a^3+b^3+c^3-3abc)\), then \(3\mid(a+b+c)^3\), \(3\mid(a+b+c)\). so \(9\mid(a^3+b^3+c^3-3abc)\).
All \(n\) such that \(3\nmid n\) or \(9\mid n\).
1. 如图, 设锐角三角形 \(ABC\) 的外心为 \(O\), 点 \(A\) 在 \(BC\) 边上的射影为 \(H_A\), \(AO\) 的延长线与三角形 \(BOC\) 的外接圆交于点 \(A^\prime\), 点 \(A^\prime\) 在直线 \(AB\), \(AC\) 上的射影分别是 \(D\), \(E\), 三角形 \(DEH_A\) 的外心为 \(O_A\). 类似定义点 \(H_B\), \(O_B\) 与 \(H_C\), \(O_C\).
证明: \(O_AH_A\), \(O_BH_B\), \(O_CH_C\) 三线共点.
2014 China IMO team selection test 3 problem 1
2. 设 \(A_1A_2\dotsm A_{101}\) 是正 101 边形, 将每个顶点染上红, 蓝两色之一. 记 \(N\) 是满足如下条件的钝角三角形的个数: 三角形的三个顶点均为该 \(101\) 边形的顶点, 两个锐角顶点的颜色相同, 且与钝角顶点的颜色不同.
(1) 求 \(N\) 的最大可能值;
(2) 求使得 \(N\) 取得最大值的不同染色方法数(对于两种染色方法, 只要有某个 \(A_i\) 上的颜色不同, 就认为是不同的染色方法).
3. 证明: 不定方程
\[(x+1)(x+2)\cdots(x+2014)=(y+1)(y+2)\dotsb(y+4028)\]
没有正整数解\((x,y)\).
4. 设 \(k\) 是给定的奇数, \(k\gt3\). 证明: 存在无穷多个正奇数 \(n\), 使得有两个正整数 \(d_1\), \(d_2\), 满足 \(d_1\), \(d_2\) 均整除 \(\dfrac{n^2+1}2\), 且 \(d_1+d_2=n+k\).
5. 设 \(n\) 是给定的整数, \(n\gt1\). 求最大的常数 \(\lambda(n)\), 使得对任意 \(n\) 个非零复数 \(z_1\), \(z_2\), \(\dotsc\), \(z_n\), 有
\[\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|^2\geqslant \lambda(n)\cdot\min_{1\leqslant k\leqslant n}\left\{\left|z_{k+1}-z_k\right|^2\right\},\]
其中 \(z_{n+1}=z_1\).
6. 对整数 \(k>1\), 记 \(f(k)\) 是将 \(k\) 分解为大于 \(1\) 的正整数之积的分解方法数(不计乘积中因子的次序, 例如 \(f(12)=4\), 因为 \(12\) 有如下四种分拆: \(12\), \(2\times 6\), \(3\times 4\), \(2\times 2\times 3\)).
证明: 若 \(n\) 是大于 \(1\) 的整数, \(p\) 是 \(n\) 的素因子, 则 \(f(n)\leqslant\dfrac np\).
1. 证明: 对任意正整数 \(k\) 及 \(N\), 有
\[\left(\frac1N\sum_{n=1}^N(\omega(n))^k\right)^{\dfrac1k}\leq k+\sum_{q\leq N}\frac1q,\]
这里 \(\sum\limits_{q\leq N}\) 表示对所有不超过 \(N\) 的素数幂 \(q\) (包括 \(q=1\)) 求和.
注: 对整数 \(n\gt1\), \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的不同素因子的个数, 并规定 \(\omega(1)=0\).
2. 给定整数 \(a\geq9\). 证明: 至多存在有限个正整数 \(n\), 同时满足下列条件:
(1) \(\tau(n)=a\);
(2) \(n\mid \varphi(n)+\sigma(n)\).
注: 对于正整数 \(n\), \(\tau(n)\) 表示 \(n\) 的正约数个数, \(\varphi(n)\) 表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数的个数, \(\sigma(n)\) 表示 \(n\) 的所有正约数之和.
3. 设 \(A\) 是平面上一个凸 \(n\) 边形的顶点构成的集合. \(A\) 中每两点之间距离的所有不同值从大到小依次记为 \(d_1\gt d_2\gt\dotsb\gt d_m\gt0\). 设 \(A\) 中距离为 \(d_i\) 的无序点对恰有 \(\mu_i\) 对, \(i=1\), \(2\),\(\dotsc\), \(m\).
证明: 对任意正整数 \(k\leq m\), 有 \(\mu_1+\mu_2+\dotsb+\mu_k\leq(3k-1)n\).
4. 给定半径为 \(R\) 的圆 \(O\), 其内接三角形 \(ABC\) 是三边两两不等的锐角三角形, \(AB\) 是该三角形的最大边(如图所示), \(AH_A\), \(BH_B\), \(CH_C\) 分别是边 \(BC\), \(CA\), \(AB\) 上的高. 设 \(D\) 为 \(H_A\) 关于直线 \(H_BH_C\) 的对称点, \(E\) 为 \(H_B\) 关于直线 \(H_AH_C\) 的对称点. \(P\) 为直线 \(AD\) 与 \(BE\) 的交点, \(H\) 为 \(\triangle ABC\) 的垂心. 证明: \(OP\cdot OH\)为定值, 并求出这个值(用 \(R\) 表示).
2014 China IMO team selection test 2 problem 4
5. 求具有下述性质的最小正常数 \(c\): 对任意一个简单图 \(G=G(V,E)\), 只要 \(|E|\geqslant c|V|\), 则 \(G\) 一定含有两个无公共顶点的圈, 并且其中之一是带弦圈.
注: 图 \(G(V,E)\) 的圈是指一个两两不同的顶点序列 \(\{v_1\), \(v_2\), \(\dotsc\), \(v_n\}\subseteq V\), 其中 \(v_iv_{i+1}\in E\)(\(1\leqslant i\leqslant n\)) (这里 \(n\geqslant 3\), \(v_{n+1}=v_1\)); 带弦圈是指一个圈 \(\{v_1\), \(v_2\), \(\dotsc\), \(v_n\}\), 且存在 \(i\), \(j\), \(1\lt i-j\lt n-1\), 满足 \(v_iv_j\in E\).
6. 设 \(k\) 是给定的正偶数, \(N\) 是 \(k\) 个互不相同的素数 \(p_1\), \(\dotsc\), \(p_k\) 的乘积, \(a\), \(b\) 是两个正整数, \(a\lt b\leqslant N\). 记
\[S_1=\left\{d\,\big|\,d|N,a\leqslant d\leqslant b,d\,\text{的素因子个数是偶数}\right\},\]
\[S_2=\left\{d\,\big|\,d|N,a\leqslant d\leqslant b,d\,\text{的素因子个数是奇数}\right\}.\]
证明: \(|S_1|-|S_2|\leqslant \mathrm{C}_k^{\frac k2}\).
受中国数学奥林匹克委员会的委托, 2014 年第 55 届 IMO 中国数学奥林匹克国家集训队的集训将于 2014 年 3 月 10 日至 3 月 25 日在江苏省南京师范大学附属中学江宁分校举行.
1. 如图, 已知 \(ABCD\) 是圆内接四边形, 其对角线 \(AC\)与 \(BD\) 互相垂直. 点 \(F\) 在边 \(BC\) 上, 直线 \(EF\) 平行于 \(AC\) 交 \(AB\) 于点 \(E\), 直线 \(FG\) 平行于 \(BD\) 交 \(CD\) 于点 \(G\). 设点 \(E\) 在 \(CD\) 上的射影为 \(P\), 点 \(F\) 在 \(DA\) 上的射影为 \(Q\), 点 \(G\) 在 \(AB\) 上的射影为 \(R\). 证明: \(QF\) 平分 \(\angle PQR\).
2014 China IMO team selection test 1 problem 1
2. 设 \(A\) 是一个有限正整数集合, 令 \(B=\left\{\dfrac{a+b}{c+d}\bigg|a,b,c,d\in A\right\}\). 证明:
\[|B|\geq2|A|^2-1,\]
其中 \(|X|\) 表示有限集合 \(X\) 的元素个数.
3. 已知函数 \(f\colon N^*\to N^*\) 同时满足:
(1) 对任意正整数 \(m\), \(n\), 有 \((f(m),f(n))\leq(m,n)^{2014}\);
(2) 对任意正整数 \(n\), 有 \(n\leq f(n)\leq n+2014\).
证明: 存在正整数 \(N\), 使得对每个整数 \(n\geq N\), 均成立 \(f(n)=n\).
4. 对任意一个实数列 \(\{x_n\}\), 定义数列 \(\{y_n\}\) 如下:
\[y_1=x_1, y_{n+1}=x_{n+1}-\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^{\dfrac12}(n\geq1).\]
求最小的正数 \(\lambda\), 使得对任意实数列 \(\{x_n\}\) 及一切正整数 \(m\), 均有
\[\frac1m\sum_{i=1}^mx_i^2\leq\sum_{i=1}^m\lambda^{m-i}y_i^2.\]
5. 设 \(a_1\lt a_2\lt\dotsb\lt a_t\) 为 \(t\) 个给定的正整数, 其中任意三项均不成等差数列. 对 \(k=t\), \(t+1\), \(\dotsc\), 定义 \(a_{k+1}\) 为大于 \(a_k\), 并使得 \(a_1\), \(a_2\),\(\dotsc\), \(a_{k+1}\) 中任意三项均不成等差数列的最小正整数. 对任意正实数 \(x\), 用 \(A(x)\) 表示数列 \(\{a_i\}_{i\geq1}\) 中不超过 \(x\) 的数的个数. 证明: 存在实数 \(c\gt1\) 及 \(K\gt0\), 使得 \(A(x)\geq c\sqrt x\) 对任意 \(x\gt K\) 成立.
6. 设整数 \(n\geq2\). 将 \(1\), \(2\),\(\dotsc\), \(n^2\) 填入一个 \(n\times n\) 的方格表中, 每个小方格中填入一个数, 每个数恰使用一次. 两个小方格称为相邻的, 当且仅当它们有公共边. 已知任意两个相邻的小方格中所填数之差的绝对值不超过 \(n\). 证明: 存在一个 \(2\times2\) 的小正方形, 它的对角方格所填的数之和相等.
Basic Commutative Algebra, Balwant Singh, 终于到货了, 这是朕买过的最贵的书了.
Basic Commutative Algebra
这本交换代数书籍, 不那么高深, 入门而已. 关于这学科的书已经不少, 不一定非得用它.
本书由 World Scientific Publishing Company 于 January 19, 2011 出版. 本书电子版可以在World Scientific Publishing Company 的官网找到. (如果你的单位已经购买, 可以直接下载 Basic Commutative Algebra.)
这仅仅是交换代数的入门介绍, 但作者希望对初学者和成熟的专家都有用. 阅读本书要求的先修课程是基本的抽象代数. 作者注重完备, 补了一些同调代数, 比 atiya 中规中矩, 并且配有习题. The book will be useful to beginners and experienced researchers alike. The material is so arranged that the beginner can learn through self-study or by attending a course. For the experienced researcher, the book may serve to present new perspectives on some well-known results, or as a reference.
Author: Balwant Singh
ISBN: 978-981-4313-61-2 (hardcover) 978-981-4313-62-9 (softcover)
2011 World Scientific Publishing Company